Question

Вагон массой 20т, движущийся со скоростью 0.5 м/с, встречает вагон массой 30т, движущийся навстречу первому со скоростью 0.2 м/с. Какова скорость вагона после упругого взаимодействия?

Answer 1

Будем считать, что оба вагона изменяют свои скорости на противоположные (в ином случае все выкладки так же будут верны, просто результирующие знаки скоростей окажутся отрицательными).

Обозначим массу и скорости до и после столкновения первого (малого вагона), как: m, v, u (искомая) .

Обозначим массу и скорости до и после столкновения второго (большего вагона), как: M, V, U .

Импульс и энергия сохраняются, так что:

mv – MV = MU – mu ;         ЗСИ

mv²/2 + MV²/2 = MU²/2 + mu²/2 ;       ЗСЭ

Соберём подобные:

m ( v + u ) = M ( U + V ) ;      

m ( v² – u² ) = M ( U² – V² ) ;

Разделим второе на первое:

v – u = U – V ;

U = V + v – u ;

Подставим это выражение в ЗСИ

mv – MV = M(V+v–u) – mu ;

mv – MV = MV + Mv – Mu – mu ;

Mu + mu = 2MV + Mv – mv ;

(M+m)u = 2MV + (M–m)v ;

u = [ 2MV + (M–m)v ] / [ M + m ] ;

u = [ 2V + (1–m/M)v ] / [ 1 + m/M ] ≈ [ 2*0.2 + (1–2/3)0.5 ] / [ 1 + 2/3 ] ≈ 0.34 м/с .

(в соответствии с начальным положением –
– вагон поедет в противоположную сторону)

Answer 2

ВТОРОЙ СПОСОБ (на пальцах):

Импульс одного (меньшего) вагона: 20*0.5 = 10 тм/с ;

Импульс другого (большего) вагона: 30*0.2 = 6 тм/с     – и он направлен противоположно движению меньшего вагона.

Общий импульс: 4 тм/с ;

Скорость всей системы (скорость центра масс) можно найти, разделив общий импульс системы вагонов на их общую массу:

4 тм/с : 50т = 0.08 м/с     – это скорость центра масс (СЦМ).

В системе СЦМ импульс системы равен нулю, а энергия сохраняется. Импульсы обоих вагонов, таким образом – равны в СЦМ по модулю, а значит, их скорости пропорциональны, и если бы одна из них по модулю увеличилась бы, то увеличилась бы и другая, а это невозможно в сиу сохранения энергии. Аналогично, скорости не могут и уменьшиться в СЦМ. Т.е. скорости вагонов в СЦМ сохранятся по модулю.

Ясно, что вагоны до упругого соударения/взаимодействия съезжаются, а после него – разъезжаются. А значит, в СЦМ меньший вагон станет двигаться в противоположную сторону с той же скоростью, что и до взаимодействия (как, в прочем, и другой вагон).

До взаимодействия, скорость меньшего вагона относительно СЦМ составляет 0.5–0.08=0.42 м/с.

После взаимодействия скорость меньшего вагона относительно СЦМ составит –0.42 м/с.

В системе связанной с землёй (в ЛСО) скорость вагона после взаимодействия станет равна: –0.42+0.08 = –0.34 м/с. Т.е. вагон будет катиться в противоположную сторону.




ВТОРОЙ СПОСОБ (строго):

Общий импульс до взаимодействия:

mv–MV ;

Через центр масс импульс системы выражается, как: (M+m)vц, откуда:

(M+m)vц = mv – MV ;

vц = [ mv – MV ] / [ M + m ] ;

Относительно СЦМ меньший вагон движется со скоростью:

v' = v – vц ;

После взаимодействия скорость вагона в СЦМ изменится на противоположную и станет равна:

u' = –v' = vц – v ;

В ЛСО конечная скорость вагона:

u = u' + vц = 2vц – v = 2 [ mv – MV ] / [ M + m ] – v =
= [ 2mv – 2MV – Mv – mv ] / [ M + m ] = [ (m–M)v – 2MV ] / [ M + m ] =
= – [ (1–m/M)v + 2V ] / [ 1 + m/M ] ;

u = – [ (1–m/M)v + 2V ] / [ 1 + m/M ] ≈ – [ (1–2/3)0.5 + 2*0.2 ] / [ 1 + 2/3 ] ≈ –0.34 м/с .

Answer 3

Calculation of the Final Velocity of the Wagons

To calculate the final velocity of the wagons after the elastic collision, we can use the principle of conservation of momentum. According to this principle, the total momentum before the collision is equal to the total momentum after the collision.

The momentum of an object is calculated by multiplying its mass by its velocity. Therefore, the momentum of the first wagon (with a mass of 20 tons) before the collision is given by:

Momentum of the first wagon before the collision = mass of the first wagon × velocity of the first wagon

Similarly, the momentum of the second wagon (with a mass of 30 tons) before the collision is given by:

Momentum of the second wagon before the collision = mass of the second wagon × velocity of the second wagon

Since the collision is elastic, the total momentum before the collision is equal to the total momentum after the collision. Therefore, we can write the equation:

Momentum of the first wagon before the collision + Momentum of the second wagon before the collision = Momentum of the first wagon after the collision + Momentum of the second wagon after the collision

Let's substitute the given values into the equation and solve for the final velocity of the wagons after the collision.

Given: - Mass of the first wagon = 20 tons - Velocity of the first wagon = 0.5 m/s - Mass of the second wagon = 30 tons - Velocity of the second wagon = -0.2 m/s (negative because it is moving in the opposite direction)

Using the equation above, we can calculate the final velocity of the wagons after the collision.