Question

Вставивши в котушку феромагнітне осердя, збільшили її індуктивність на 20%. Для відновлення частоти контуру, ємність зменшили на 50пФ. Якою була початкова ємність конденсатора?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Вставив в катушку ферромагнитное сердечник, увеличили ее индуктивность на 20%. Для восстановления частоты контура, емкость уменьшили на 50 пФ. Какой была начальная емкость конденсатора?

Дано:

L₁

С₁

L₂ = 1,2·L₁

ΔC = 50 пФ

C₂ = C₁ - ΔC

ν₁ = ν₂

___________

C₁ - ?

Первоначальная частота колебаний в контуре:

ν₁ = 1 / T₁ = 1 / (2π·√(L₁·C₁))

После внесения сердечника:

ν₂ = 1 / T₂ = 1 / (2π·√(L₂·C₂))

По условию задачи:

ν₁ = ν₂

1 / (2π·√(L₁·C₁)) = 1 / (2π·√(L₂·C₂))

√(L₁·C₁) = √(L₂·C₂)

L₁·C₁ = L₂·C₂

L₁·C₁ = 1,2·L₁·(C₁ - ΔC)

C₁ = 1,2·(C₁ - ΔC)

C₁ = 1,2·C₁ - 1,2·ΔC)

Отсюда:

0,2·C₁ = 1,2·ΔC

C₁ = 1,2·ΔC / 0,2

C₁ = 6·50 = 300 пФ

Answer 2

Давайте розглянемо дані задачі крок за кроком.

1. Вставка феромагнітного осердя збільшила індуктивність котушки на 20%. Якщо \(L_0\) - початкова індуктивність котушки, то нова індуктивність \(L_{\text{нова}}\) буде:

\[L_{\text{нова}} = L_0 + 0.2 \cdot L_0 = 1.2 \cdot L_0.\]

2. Для відновлення частоти контуру ємність зменшили на 50 пФ.

Нехай \(C_0\) - початкова ємність конденсатора, і нова ємність \(C_{\text{нова}}\) після зменшення на 50 пФ:

\[C_{\text{нова}} = C_0 - 50 \ \text{пФ}.\]

3. Зв'язок між індуктивністю, ємністю та частотою в коливальному контурі визначається резонансною частотою \(f\):

\[f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L \cdot C}}.\]

Де \(L\) - індуктивність, \(C\) - ємність.

4. З рівняння можна виділити залежність між \(L\), \(C\) та \(f\):

\[L \cdot C = \frac{1}{(2 \pi f)^2}.\]

Давайте визначимо вираз для початкової індуктивності та ємності:

\[L_0 \cdot C_0 = \frac{1}{(2 \pi f_0)^2}.\]

Де \(f_0\) - початкова частота контуру.

5. Після вставки феромагнітного осердя ми змінюємо індуктивність, отже, нова резонансна частота \(f_{\text{нова}}\) буде:

\[L_{\text{нова}} \cdot C_{\text{нова}} = \frac{1}{(2 \pi f_{\text{нова}})^2}.\]

Підставимо значення для \(L_{\text{нова}}\) та \(C_{\text{нова}}\) з попередніх кроків.

\[(1.2 \cdot L_0) \cdot (C_0 - 50) = \frac{1}{(2 \pi f_{\text{нова}})^2}.\]

6. Далі виразимо \(f_{\text{нова}}\):

\[f_{\text{нова}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(1.2 \cdot L_0) \cdot (C_0 - 50)}}.\]

7. Початкова резонансна частота \(f_0\) визначається початковим значенням індуктивності та ємності:

\[f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_0 \cdot C_0}}.\]

8. Тепер візьмемо співвідношення між початковою та новою резонансною частотою:

\[\frac{f_{\text{нова}}}{f_0} = \frac{1}{\sqrt{1.2 \cdot (C_0 - 50)/C_0}}.\]

9. Знайшовши співвідношення між частотами, ми можемо розв'язати це рівняння для \(C_0\):

\[C_0 = \frac{50}{\left(\frac{1}{\left(\frac{f_{\text{нова}}}{f_0}\right)^2}\right)^2 - 1}.\]

Таким чином, можна визначити початкову ємність конденсатора \(C_0\). Зазначте значення частот \(f_{\text{нова}}\) та \(f_0\), і ви зможете обчислити початкову ємність конденсатора.