Question

У циліндрі, заповненому газом, переміщується поршень зі швидкістю (див. рис.). Визначити частину енергії, яка втрачається молекулою при зіткненні з поршнем, якщо швидкість молекули перпендикулярна до поверхні поршня і дорівнює (υ>>u). Зіткнення молекули з поршнем вважати абсолютно пружним.

Answer 1

Для визначення частини енергії, яка втрачається молекулою при зіткненні з поршнем у циліндрі, можемо скористатися законами збереження енергії та законами колізій.

Припустимо, що молекула газу зіткнулася з поршнем, що рухається зі швидкістю \( u \), та має швидкість \( v \), яка перпендикулярна до поверхні поршня. Позначимо масу молекули \( m \) та масу поршня \( M \). Згідно з законом збереження енергії та законом колізій, можемо записати рівняння збереження енергії:

\[ \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m u^2 + \frac{1}{2}M V^2 \]

де \( V \) - швидкість поршня після зіткнення. Також відомо, що \( v \) значно більше за \( u \) (\( v \gg u \)), тобто молекула газу має набагато вищу швидкість.

Тепер можемо визначити частину енергії, яку втрачає молекула під час зіткнення. Це буде різниця між початковою та кінцевою енергією молекули:

\[ \Delta E = \frac{1}{2}m u^2 - \frac{1}{2}m v^2 \]

Підставимо вираз для \( v^2 \) з рівняння збереження енергії:

\[ \Delta E = \frac{1}{2}m u^2 - \frac{1}{2}m \left( u^2 + \frac{M}{m} V^2 \right) \]

Спростимо вираз:

\[ \Delta E = -\frac{1}{2}m \cdot \frac{M}{m} V^2 = -\frac{1}{2}MV^2 \]

Отже, частину енергії, яку втрачає молекула при зіткненні з поршнем, можна виразити як \( -\frac{1}{2}MV^2 \).