Question

Почему (U1+U2)^2=U1^2+2*U1*U2*cosα+U2^2? Откуда берется косинус альфа?

Answer 1

Вы задали вопрос о формуле для квадрата суммы двух векторов в терминах их компонент. Давайте разберемся.

Пусть у нас есть два вектора \( \mathbf{U_1} \) и \( \mathbf{U_2} \), каждый из которых имеет две компоненты (например, в двумерном пространстве):

\[ \mathbf{U_1} = \begin{bmatrix} U_{1x} \\ U_{1y} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{U_2} = \begin{bmatrix} U_{2x} \\ U_{2y} \end{bmatrix} \]

Тогда сумма этих двух векторов будет:

\[ \mathbf{U_1} + \mathbf{U_2} = \begin{bmatrix} U_{1x} + U_{2x} \\ U_{1y} + U_{2y} \end{bmatrix} \]

Когда мы вычисляем квадрат этой суммы, получаем:

\[ (\mathbf{U_1} + \mathbf{U_2})^2 = \left( \begin{bmatrix} U_{1x} + U_{2x} \\ U_{1y} + U_{2y} \end{bmatrix} \right)^2 \]

Раскроем этот квадрат:

\[ (\mathbf{U_1} + \mathbf{U_2})^2 = \begin{bmatrix} U_{1x} + U_{2x} \\ U_{1y} + U_{2y} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} U_{1x} + U_{2x} \\ U_{1y} + U_{2y} \end{bmatrix} \]

Умножение компонент:

\[ (\mathbf{U_1} + \mathbf{U_2})^2 = \begin{bmatrix} (U_{1x} + U_{2x})^2 \\ (U_{1y} + U_{2y})^2 \end{bmatrix} \]

Раскроем скобки:

\[ (\mathbf{U_1} + \mathbf{U_2})^2 = \begin{bmatrix} U_{1x}^2 + 2U_{1x}U_{2x} + U_{2x}^2 \\ U_{1y}^2 + 2U_{1y}U_{2y} + U_{2y}^2 \end{bmatrix} \]

Это как раз и есть формула, которую вы привели. Она представляет собой квадрат суммы двух векторов в терминах их компонент.

Теперь касательно косинуса альфа. Если вы рассматриваете угол \( \alpha \) между векторами \( \mathbf{U_1} \) и \( \mathbf{U_2} \), то вы можете заметить, что в формуле есть член \( 2U_{1x}U_{2x}\cos\alpha \) (аналогично для компонент \(y\)). Этот член возникает из произведения двух векторов в декартовой системе координат и использует определение косинуса угла между векторами:

\[ \mathbf{U_1} \cdot \mathbf{U_2} = |\mathbf{U_1}| \cdot |\mathbf{U_2}| \cdot \cos\alpha \]

В данном случае \( |\mathbf{U_1}| \) и \( |\mathbf{U_2}| \) - это длины векторов \( \mathbf{U_1} \) и \( \mathbf{U_2} \). Если вы разделите обе стороны этого уравнения на длины векторов, то получите:

\[ \cos\alpha = \frac{\mathbf{U_1} \cdot \mathbf{U_2}}{|\mathbf{U_1}| \cdot |\mathbf{U_2}|} \]

И этот косинус альфа входит в формулу квадрата суммы векторов.