Question

8. Навколо деякої планети обертається супутник на висоті, яка дорівнює подвійному радіусу цiєї планети. Супутник обертається з прискоренням - 1,5 м/с². Визначте масу планети та період обертання супутника. Радіус планети дорівнює 5500 км. (3 бали)

Answer 1

Дано: Висота супутника (h) = 2 * радіус планети Прискорення обертання супутника (a) = -1,5 м/с² Радіус планети (R) = 5500 км = 5500000 м

Ми можемо використовувати закон всесвітнього тяжіння для визначення маси планети:

F = G * (m1 * m2) / r²

де F - сила гравітації, G - гравітаційна постійна, m1 та m2 - маси об'єктів, r - відстань між ними

В даному випадку, маємо сили тяжіння між планетою та супутником:

F = G * (m_планети * m_супутника) / (R + h)²

Також, знаючи закон другого Ньютона (F = m * a), можемо записати силу як масу помножену на прискорення:

m_супутника * a = G * (m_планети * m_супутника) / (R + h)²

m_супутника скасовується з обох сторін рівняння, залишається:

a = G * m_планети / (R + h)²

Тепер можемо виразити масу планети (m_планети):

m_планети = a * (R + h)² / G

Підставимо відомі значення:

m_планети = (-1,5 м/с²) * (5500000 м + 2 * 5500000 м)² / (6,674 * 10⁻¹¹ Н * м² / кг²)

Обчислюємо:

m_планети = (-1,5) * (33000000)² / (6,674 * 10⁻¹¹) m_планети ≈ 8600550845 кг

Тепер для визначення періоду обертання супутника можемо використовувати закон Кеплера, який говорить, що квадрат періоду обертання (T) супутника прямо пропорційний третій степені відстані між супутником та планетою (r):

T² = (4π² / G * m_планети) * r³

Альтернативно, r можна виразити як (R + h):

T² = (4π² / G * m_планети) * (R + h)³

Виразимо T²:

T² = (4π² / G * m_планети) * (5500000 м + 2 * 5500000 м)³ T² ≈ (4 * 3,1416² / (6,674 * 10⁻¹¹ * 8600550845)) * (33000000)³

Обчислюємо:

T² ≈ 45791176211 с²

Отримуємо значення T:

T ≈ √45791176211 с ≈ 214015 с

Отже, маса планети дорівнює приблизно 8600550845 кг, а період обертання супутника становить приблизно 214015 секунд.