Question

Докажите, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях любого параллелограмма, в 2 раза больше площади этого параллелограмма. Помогите пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Ответ виден из чертежа:

Площадь треугольника AB0 равна площади треугольника ACB

Answer 2

Давайте рассмотрим параллелограмм, построенный на диагоналях другого параллелограмма. Пусть у нас есть параллелограмм ABCD, и давайте обозначим его диагонали как AC и BD. Таким образом, у нас есть два треугольника, треугольник ACD и треугольник BCD, образованных диагоналями.

Теперь мы можем заметить, что эти два треугольника имеют одинаковую высоту, потому что они находятся на одном и том же расстоянии друг от друга. Это проиллюстрировано на рисунке ниже, где h - высота обоих треугольников:

   A________C
   |       /
   |      /  h
   |     /
   |    /
   |   /
   |  /
   | / 
   B
   D

Поскольку площадь треугольника вычисляется как (1/2) * base * height, и у нас есть два треугольника с одинаковой высотой, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований (AC и BD):

Площадь треугольника ACD / Площадь треугольника BCD = AC / BD

Теперь, так как AC и BD - диагонали параллелограмма ABCD, они равны между собой. Это следует из свойства параллелограмма, что диагонали пересекаются в их средних точках и делят друг друга пополам. Таким образом, AC = BD.

Теперь вернемся к отношению площадей треугольников:

Площадь треугольника ACD / Площадь треугольника BCD = AC / BD

Подставив значение AC = BD:

Площадь треугольника ACD / Площадь треугольника BCD = 1

Теперь давайте вернемся к параллелограммам. Площадь параллелограмма ABCD можно рассматривать как сумму площадей двух треугольников ACD и BCD, так как параллелограмм состоит из двух равных треугольников. Таким образом:

Площадь параллелограмма ABCD = Площадь треугольника ACD + Площадь треугольника BCD

Теперь мы знаем, что отношение площадей треугольников ACD и BCD равно 1. Поэтому отношение площади параллелограмма ABCD к его диагоналям равно:

Площадь параллелограмма ABCD / Площадь треугольника ACD = 1

Теперь давайте рассмотрим параллелограмм, построенный на диагоналях ABCD. Этот новый параллелограмм также состоит из двух треугольников, но он больше исходного параллелограмма в 2 раза, потому что его высота (h) также равна высоте исходного параллелограмма. Пусть S_new будет площадью нового параллелограмма, и S_original - площадью исходного.

Теперь, так как новый параллелограмм в 2 раза больше исходного параллелограмма, отношение их площадей:

S_new / S_original = 2

Теперь мы видим, что отношение площадей нового и исходного параллелограммов равно 2. Мы ранее показали, что отношение площадей треугольников ACD и BCD также равно 1. Это означает, что отношение площади нового параллелограмма к площади треугольника ACD равно 2.

S_new / Площадь треугольника ACD = 2

Теперь мы знаем, что отношение площади нового параллелограмма к площади треугольника ACD равно 2. Площадь треугольника ACD равна половине площади исходного параллелограмма:

Площадь треугольника ACD = (1/2) * S_original

Теперь мы можем подставить это значение в уравнение:

S_new / ((1/2) * S_original) = 2

Умножим обе стороны на (1/2) * S_original, чтобы избавиться от деления:

S_new = 2 * ((1/2) * S_original)

S_new = S_original

Таким образом, мы доказали, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях любого параллелограмма, равна площади этого исходного параллелограмма.