Question

Задача по ФИЗИКЕ!!! Докажите, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях любого параллелограмма, в 2 раза больше площади этого параллелограмма. Помогите пожалуйста!!!​

Answer 1

Площадь параллелограмма, построенного на произвольных векторах "a" и "b", равна модулю их векторного произведения [a,b]. Диагонали этого параллелограмма даются векторами b+a, b-a. Векторное произведение этих векторов равно [b+a,b-a] = [b,b] + [a,b] -[b,a] - [a,a] = 2[a,b], поскольку [a,a]=[b,b]=0 и [b,a]=-[a,b]. Следовательно, площадь параллелограмма, построенного из диагоналей, в два раза больше площади исходного параллелограмма.

Answer 2

Чтобы доказать данное утверждение, воспользуемся свойством параллелограмма, что противоположные стороны равны и параллельны.

Пусть у нас есть параллелограмм ABCD, построенный на его диагоналях AC и BD. Пусть E и F - середины сторон AB и CD соответственно.

Заметим, что четыре треугольника ADE, BCF, AEF и CFD имеют одинаковую площадь, так как основание и высота этих треугольников равны.

Теперь рассмотрим площади параллелограмма ABCD и параллелограмма EFCB.

Площадь параллелограмма ABCD можно представить как сумму площадей треугольников ADE, BCF, AEF и CFD.

Площадь параллелограмма EFCB можно представить как сумму площадей треугольников AEF и CFD.

Очевидно, что площадь параллелограмма ABCD включает в себя площадь EFCB, так как эти параллелограммы имеют общие стороны и одну общую вершину (точку F).

Таким образом, можно заключить, что площадь параллелограмма ABCD больше площади EFCB, так как площадь EFCB является частью площади ABCD.

Также заметим, что отношение площади параллелограмма ABCD к площади EFCB равно отношению площади треугольника ADE к площади треугольника AEF (оба треугольника лежат на прямой EF).

Так как треугольники ADE и AEF имеют одинаковую высоту (прямая EF), то их площади пропорциональны и отношение их площадей равно отношению их оснований (стороны AD и AF).

Но AD = 2AF, так как E - середина стороны AB и AE = EB, а AB = 2AF.

То есть, площадь параллелограмма ABCD в 2 раза больше площади параллелограмма EFCB.

Таким образом, мы доказали, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях любого параллелограмма, в 2 раза больше площади этого параллелограмма.