Question

Терміново! Даю 50 балів Задача 7. Великий шків ремінної передачі має радіус 32 см і обертається зі швидкістю 120 см/хв. Малий шків передачі має радіус 24 см. Знайти: 1) лінійну швидкість точок ременя, 2) кутову швидкість обертання малого шківа і число його обертів за 1 хвилину, 3) нормальне прискорення точок, що лежать на циліндричних поверхнях великого й малого шківів.

Answer 1

Для вирішення цієї задачі ми будемо використовувати рівняння кінематики обертального руху для шківів і формули для лінійної та кутової швидкості.

Дані:

- Радіус великого шківа R₁ = 32 см = 0,32 м

- Радіус малого шківа R₂ = 24 см = 0,24 м

- Швидкість обертання великого шківа v₁ = 120 см/хв = 1,2 м/хв

1) Щоб знайти лінійну швидкість точок ременя, використаємо співвідношення між радіусами великого і малого шківів та їхніми лінійними швидкостями:

v₁ / v₂ = R₂ / R₁

v₂ = (v₁ * R₁) / R₂ = (1.2 м/хв * 0.32 м) / 0.24 м ≈ 1.6 м/хв

2) Кутова швидкість обертання малого шківа (ω₂) визначається відношенням лінійної швидкості до радіуса:

ω₂ = v₂ / R₂ = 1.6 м/хв / 0.24 м ≈ 6.67 рад/хв

Кількість обертів малого шківа за 1 хвилину (N) можна знайти, поділивши кількість радіанів у 1 хвилину на кількість радіанів у одному оберті:

N = ω₂ * (60 с/хв) / (2π рад) ≈ (6.67 рад/хв * 60 с/хв) / (2π рад) ≈ 60.01 обертів

3) Нормальне прискорення (aₙ) точок, що лежать на циліндричних поверхнях великого і малого шківів, визначається як:

aₙ = R * α

Де α - кутове прискорення, яке рівне похідній кутової швидкості по часу (α = dω/dt).

Для великого шківа:

α₁ = dω₁/dt

Для малого шківа:

α₂ = dω₂/dt

Знайдемо α₁ і α₂:

α₁ = 0, так як швидкість великого шківа залишається постійною.

α₂ = d(6.67 рад/хв)/dt = 0, так як кутова швидкість малого шківа залишається постійною.

Отже, нормальне прискорення точок на циліндричних поверхнях обох шківів дорівнює нулю.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку знайдемо лінійну і кутову швидкості точок ременя, потім розглянемо нормальне прискорення цих точок.

1) Лінійна швидкість точок ременя: Лінійна швидкість точки на великому шківі буде однаковою зі швидкістю його обертання, оскільки ця точка рухається вздовж великого шківа. Тобто, лінійна швидкість великого шківа V_large буде 120 см/с.

Лінійна швидкість точки на малому шківі також може бути знайдена за допомогою принципу збереження енергії. Можна використовувати співвідношення між лінійною швидкістю і радіусом для обох шківів:

V_large / R_large = V_small / R_small

де V_large - лінійна швидкість великого шківа, R_large - радіус великого шківа, V_small - лінійна швидкість малого шківа, R_small - радіус малого шківа.

Підставимо відомі значення: V_large / 32 см = V_small / 24 см

Тепер знайдемо V_small: V_small = (V_large * R_small) / R_large V_small = (120 см/с * 24 см) / 32 см V_small = 90 см/с

Отже, лінійна швидкість точки на малому шківі V_small дорівнює 90 см/с.

2) Кутова швидкість обертання малого шківа: Кутова швидкість обертання може бути знайдена за допомогою співвідношення між лінійною і кутовою швидкістями:

ω_small = V_small / R_small

де ω_small - кутова швидкість малого шківа, V_small - лінійна швидкість малого шківа, R_small - радіус малого шківа.

Підставимо відомі значення: ω_small = 90 см/с / 24 см

Переведемо одиниці в СІ: ω_small = (0.9 м/с) / (0.24 м) ω_small ≈ 3.75 рад/с

Отже, кутова швидкість обертання малого шківа дорівнює приблизно 3.75 рад/с.

3) Нормальне прискорення точок на циліндричних поверхнях великого і малого шківів: Нормальне прискорення (a_n) для точки, яка рухається вздовж циліндричної поверхні шківа, може бути знайдене за допомогою наступного виразу:

a_n = (V^2) / R

де a_n - нормальне прискорення, V - лінійна швидкість точки, R - радіус циліндричної поверхні (великого або малого шківа).

Для великого шківа: a_n_large = (V_large^2) / R_large a_n_large = (120 см/с)^2 / 32 см a_n_large = (1.2 м/с)^2 / 0.32 м a_n_large ≈ 4.5 м/с^2

Для малого шківа: a_n_small = (V_small^2) / R_small a_n_small = (90 см/с)^2 / 24 см a_n_small = (0.9 м/с)^2 / 0.24 м a_n_small ≈ 3.375 м/с^2

Отже, нормальне прискорення точок, які лежать на циліндричних поверхнях великого і малого шківів, дорівнює приблизно 4.5 м/с^2 для великого шківа і приблизно 3.375 м/с^2 для малого шківа.