Question

100 баллов, решение с объяснениями. с объяснениями. теплоход проходит расстояние от пункта А до пункта В по течению реки за трое суток, а обратно от В до А за пять суток , затрачивая одинаковое количество топлива в единицу времени. За сколько суток проплывет расстояние от А до В плот?

Answer 1

Про одинаковый расход топлива сказано, чтобы мы могли сделать предположение о том, что скорость теплохода в стоячей воде была постоянной. Обозначим скорость течения реки Vp, скорость теплохода Vt, а расстояние между A и B через S. Поскольку эти пункты неподвижны, то систему отсчета мы связываем с Землей.
Тогда при движении по течению скорости движения теплохода и реки складываются, а при движении против течения скорость течения реки вычитается из скорости теплохода. Мы получаем два уравнения движения, образующие систему. Решать будем в несистемных единицах времени - сутках, поскольку в них и начальные условия даны, и ответ требуется. И, конечно, мы догадываемся, что скорость плота - это и есть скорость течения реки.
$\displaystyle \left \{ {{S=(V_t+V_p)T_1} \atop {S=(V_t-V_p)T_2}} \right. \\ \\(V_t+V_p)T_1=(V_t-V_r)T_2 \\ 3V_t+3V_p=5V_t-5V_p; \ 8V_p=2V_t \to V_p=0.25V_t$
Мы установили, что скорость течения реки (она же - скорость плота) вчетверо ниже, чем скорость теплохода.
При движении по течению реки теплоход движется со скоростью Vt+0.25Vt = 1.25Vt и проходит путь за 3 суток. А плот со скоростью 0.25Vt пройдет это же расстояние за (1.25/0.25)×3 = 15 (суток).

Answer 2

Давай разберемся с этой задачей. Пусть скорость теплохода относительно воды равна \( V \), а скорость течения реки — \( v \). Тогда скорость теплохода вниз по течению будет равна \( V + v \), а вверх — \( V - v \).

Расстояние от точки А до точки В обозначим \( S \). Тогда время вниз по течению будет равно \( \frac{S}{V+v} \), а вверх — \( \frac{S}{V-v} \).

Согласно условию, время вниз равно трём суткам, а вверх — пяти. Уравнения будут следующими:

1. \( \frac{S}{V+v} = 3 \) (вниз по течению) 2. \( \frac{S}{V-v} = 5 \) (вверх по течению)

Теперь давай решим эту систему уравнений. Умножим оба уравнения на их знаменатели, чтобы избавиться от дробей:

1. \( 3(V+v)S = S \) 2. \( 5(V-v)S = S \)

Упростим уравнения:

1. \( 3VS + 3vS = S \) 2. \( 5VS - 5vS = S \)

Теперь сгруппируем переменные:

1. \( 3VS + 3vS - S = 0 \) 2. \( 5VS - 5vS - S = 0 \)

Факторизуем:

1. \( S(3V + 3v - 1) = 0 \) 2. \( S(5V - 5v - 1) = 0 \)

Так как \( S \) (расстояние) не может быть равно нулю, фактор \( (3V + 3v - 1) \) должен быть равен нулю:

\[ 3V + 3v - 1 = 0 \]

Решим это уравнение относительно \( V \):

\[ 3V + 3v = 1 \] \[ 3V = 1 - 3v \] \[ V = \frac{1 - 3v}{3} \]

Теперь можем подставить \( V \) обратно в любое из исходных уравнений (допустим, в первое):

\[ \frac{S}{\frac{1 - 3v}{3} + v} = 3 \]

Мы можем умножить обе стороны на знаменатель внутри дроби:

\[ S = 3 \left( \frac{1 - 3v}{3} + v \right) \]

Упростим:

\[ S = 1 - 3v + 3v \]

И вот интересный момент: все \( v \) сокращаются, и у нас остается:

\[ S = 1 \]

Таким образом, расстояние от точки А до точки В равно 1. Теперь мы знаем, что теплоход проплывет это расстояние за 3 суток вниз по течению, и за 5 суток вверх по течению. Если проплывать это расстояние на плоту, где скорость относительно воды равна нулю, то время будет равно сумме времени вниз и вверх:

\[ \text{Время} = 3 \text{ суток} + 5 \text{ суток} = 8 \text{ суток} \]

Таким образом, на плоту расстояние от точки А до точки В будет пройдено за 8 суток.