Question

Два альпиниста совершают восхождение на пик по противоположным склонам с одинаковой по величине скоростью V. Длина каждого склона равна S. Склоны составляют одинаковые углы с вертикалью. В начальный момент времени у основания пика расстояние по горизонтали между альпинистами равно L. С какими скоростями альпинисты приближаются: 1) к вертикали, проходящей через вершину пика? 2) друг к другу?

Answer 1

Угол склона <B
cosB=(L/2)/S=L/2S
проекция скорости каждого альпиниста на горизонтальную ось Vx=V*cosB=VL/2S
С какими скоростями альпинисты приближаются:
1) к вертикали, проходящей через вершину пика  Vx=VL/2S
2) друг к другу  Vx(12)= 2*Vx = 2*VL/2S=VL/S

Answer 2

1. Сначала рассмотрим, как альпинисты приближаются к вертикали, проходящей через вершину пика. Пусть t - время, прошедшее с начала восхождения.

Каждый альпинист движется вверх со скоростью V и горизонтально на расстояние L. Таким образом, их вертикальное перемещение за время t составляет Vt, и горизонтальное перемещение равно L.

Так как склоны составляют одинаковые углы с вертикалью, то вертикальное перемещение и горизонтальное перемещение образуют прямоугольный треугольник. Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим:

(Vt)^2 = L^2 + (Vt_vertical)^2

где Vt_vertical - вертикальная скорость альпинистов.

Мы хотим найти Vt_vertical, поэтому перепишем уравнение:

(Vt_vertical)^2 = (Vt)^2 - L^2 Vt_vertical = √((Vt)^2 - L^2)

2. Теперь рассмотрим, как альпинисты приближаются друг к другу. Расстояние между ними уменьшается со скоростью, равной сумме их горизонтальных скоростей.

Каждый альпинист движется горизонтально на расстояние L за время t, поэтому его горизонтальная скорость равна L/t.

Суммируя горизонтальные скорости двух альпинистов, получим их скорость приближения друг к другу:

Скорость приближения = L/t + L/t = 2L/t

Таким образом, альпинисты приближаются друг к другу со скоростью 2L/t.