Question

Средняя скорость дрейфа электронов в металле составляет 2 миллиметра/секунду Оцените время и длину свободного пробега электронов в этом металле.

Answer 1

Ответ:

Воспользуемся классической теорией Друде-Лоренца.

Пусть известна напряженность внешнего электрического поля E, тогда ускорение, которое приобретет электрон на дистанции своего свободного пробега

$a=\frac{F}{m}=\frac{eE}{m_0}$

Если τ - время свободного пробега, то к концу свободного пробега электрон приобретет скорость

$v_D=a\tau=\frac{eE}{m_0}\tau$

Но это максимальная скорость, средняя будет в два раза меньше из-за различных направлений вектора скорости дрейфа электрона от -90° до 90°

$=\frac{eE}{2m_0} \tau$

Отсюда уже можно найти время свободного пробега

$\tau=\frac{2m_0}{eE}=\frac{2*9.1*10^-^3^1*2*10^-^3}{1.6*10^-^1^9*E}=2.28*10^-^1^4E$

Скорости беспорядочного движения электронов близки к тепловым, вклад, вносимый скоростью дрейфа ничтожен, пусть Т - температура проводника

$v=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0} }$

А длина свободного пробега

$l=\tau v=\tau \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0 } }=2.28*10^-^ 1^4E\sqrt{\frac{8*1.38*10^-^2^3T}{3.14*9.1*10^-^3^1} }=1.42*10^-^1^0E\sqrt{T}$.

Примечание: Эти формулы годятся только для данной скорости дрейфа.

Answer 2

Для оценки времени и длины свободного пробега электронов в металле можно использовать модель дрейфа электронов в проводнике, предполагая усредненную скорость дрейфа равной 2 мм/сек. Эта модель является упрощенной и не учитывает сложных процессов, происходящих в реальных металлах, но позволяет провести оценку.

Длина свободного пробега (mean free path, λ) определяется как расстояние, которое проходит электрон между столкновениями с другими частицами в металле. Это можно выразить как:

$λ = \frac{v_d}{n \cdot σ}$

где:

• $v_d$ - средняя скорость дрейфа (2 мм/секунда, что равно 0.002 м/сек),
• $n$ - концентрация свободных электронов в металле (порядка 10^28 электронов/м^3 для многих металлов),
• $σ$ - сечение столкновений электронов в металле (зависит от типа металла и условий, но обычно порядка 10^-19 м^2).

Подставим значения в формулу:

$λ = \frac{0.002 \, м/с}{10^{28} \, эл/м^3 \cdot 10^{-19} \, м^2} ≈ 10^{-6} \, метра или 1 микрометр$

Это означает, что средняя длина свободного пробега электронов в металле составляет приблизительно 1 микрометр.

Чтобы оценить время между столкновениями, вы можете использовать следующую формулу:

$t = \frac{λ}{v_d} = \frac{10^{-6} \, м}{0.002 \, м/с} = 5 \times 10^{-4} \, секунды$

Таким образом, оценочное время между столкновениями электронов в этом металле составляет приблизительно 0.0005 секунды, или 0.5 миллисекунды.