Question

20 баллов за подробный ответ 6. Обруч скатывается без скольжения с наклонной плоскости длиной l = 2 м и высотой h = 10 см из состояния покоя. Определить время его движения по наклонной плоскости. Сделать рисунок. Желательно рисунок.

Answer 1

осевой момент инерции обруча J0=mr^2

момент инерции обруча относительно мгновенной оси вращения

J=J0+mr^2=2mr^2

момент силы тяжести относительно мгновенной оси вращения

M=mgr*sin=mgrH/L

уравнение динамики вращательного движения M=J*e

откуда угловое ускорение

e=M/J=mgrH/L : 2mr^2 = gH/(2rL)

линейное ускорение центра обруча (вдоль наклонной плоскости)

a=e*r = gH/(2L)

S=at^2/2=gH/(2L) * t^2/2 = L

gH/(2L) * t^2/2 = L

t^2 =4 L^2/(g*h)

t=корень(4 L^2/(g*h)) = 2*L/корень(g*h) = 2*2/корень(10*0,1) сек =  4 сек

Answer 2

К сожалению, в текстовом формате я не могу создавать рисунки, но я могу описать, как можно решить данную задачу и предоставить формулы, которые помогут вам провести вычисления.

Дано:

• Длина наклонной плоскости, $l = 2 \, \text{м}$
• Высота наклонной плоскости, $h = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м}$

Для того чтобы определить время движения обруча, мы можем использовать законы сохранения энергии. Исходная потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию.

1. Потенциальная энергия в начальный момент времени (высота h): $U_{\text{нач}} = mgh$

2. Кинетическая энергия в конечный момент времени (скорость $v$ на конце плоскости): $K_{\text{кон}} = \frac{1}{2}mv^2$

При отсутствии потерь энергии $U_{\text{нач}}$ должна равняться $K_{\text{кон}}$.

Также, используя законы тригонометрии, мы можем выразить высоту $h$ через длину $l$.

$h = l \sin(\alpha)$

где $\alpha$ - угол наклона плоскости. Таким образом, мы можем выразить начальную потенциальную энергию через $l$ и $\alpha$.

$U_{\text{нач}} = mgl \sin(\alpha)$

Далее, кинетическая энергия в конечный момент времени будет равна механической энергии в начальный момент:

$\frac{1}{2}mv^2 = mgl \sin(\alpha)$

Масса обруча $m$ сокращается, и мы можем выразить скорость $v$ через гравитационное ускорение $g$, длину $l$, и угол наклона $\alpha$.

$v = \sqrt{2gl \sin(\alpha)}$

Теперь, чтобы определить время движения, мы можем воспользоваться уравнением движения без учета трения:

$s = ut + \frac{1}{2}at^2$

где $s$ - расстояние, $u$ - начальная скорость, $a$ - ускорение.

На наклонной плоскости $u = 0$, и ускорение $a$ равно компоненте ускорения вдоль наклонной плоскости:

$a = g \sin(\alpha)$

Таким образом, уравнение движения упрощается:

$s = \frac{1}{2}gt^2 \sin(\alpha)$

Подставим значение $s = l$, так как это длина наклонной плоскости:

$l = \frac{1}{2}gt^2 \sin(\alpha)$

Теперь можно решить это уравнение относительно времени $t$. После нахождения времени можно использовать найденное значение для расчета скорости, используя уравнение $v = gt \sin(\alpha)$.