Question

В шар массы М, лежащий на кольце, попадает пуля массы т, и пробивает его. Скорость пули v была направлена вертикально вверх вдоль прямой, проходящей через центр шара. На какую высоту над кольцом подпрыгнет шар, если пуля после пробивания шара поднялась на высоту Н?

Answer 1

При подлете к шару пуля имела кинетическую энергию

$mv^2/2 = p^2/2m$

Какую-то часть этой энергии пуля передала шару, а еще какая-то часть этой кинетической энергии
$mv'^2/2 = p'^2/2m$
в итоге перешла в потенциальную энергию пули

$mgH$

Часть энергии, переданная шару, сначала была в форме его кинетической энергии

$Mu^2/2 = p_2^2/2M$

и в итоге она перешла в его потенциальную энергию

$Mgh$,

где $h$ --- искомая высота.

Однако нельзя считать, что вся разность энергий пули была передана шару, так как пробивание пулей шара - процесс неупругий из-за неизбежного наличия внутреннего трения между пулей и шаром.

Зато импульс во время удара можно считать сохраняющимся, так как за время удара внешние силы не успеют сильно изменить импульс системы. Поэтому

$p = p'+p_2\\p'^2/2m = mgH\\h = Mgh/M = p_2^2/(2M^2g)$

Находим $p_2 = p-p'$ и подставляем в третью строчку

$\displaystyle h = \frac{\left(mv-\sqrt{2m^2gH}\right)^2}{2M^2g} = \frac{m^2\left(v-\sqrt{2gH}\right)^2}{2M^2g}$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения энергии.

Изначально вся система (шар и пуля) имеет некоторую начальную кинетическую энергию, которая равна кинетической энергии пули, так как только пуля двигается. Когда пуля попадает в шар и пробивает его, часть её кинетической энергии передаётся шару, и вся система (шар + пуля) начинает подниматься. Мы можем записать закон сохранения энергии для этой системы:

1. Начальная кинетическая энергия пули = Кинетическая энергия пули + Потенциальная энергия шара + Кинетическая энергия шара

2. (1/2) * t * v^2 = (1/2) * t * (v - Δv)^2 + M * g * h + (1/2) * M * (v - Δv)^2

Где:

• t - масса пули
• v - начальная скорость пули
• Δv - скорость пули после пробивания шара (на высоте H)
• M - масса шара
• g - ускорение свободного падения (приближенно принимаем 9.8 м/с^2)
• h - высота поднятия шара над кольцом

Мы знаем, что после пробивания шара, пуля поднимается на высоту H, поэтому Δv равно скорости пули, когда она находится на высоте H.

Теперь мы можем решить уравнение (2) относительно h, используя известные значения:

(1/2) * t * v^2 = (1/2) * t * (v - Δv)^2 + M * g * h + (1/2) * M * (v - Δv)^2

Мы также знаем, что кинетическая энергия пули до пробивания шара равна её кинетической энергии после пробивания, так что:

(1/2) * t * v^2 = (1/2) * t * (v - Δv)^2

Теперь мы можем выразить Δv:

(1/2) * t * v^2 = (1/2) * t * (v - Δv)^2 v^2 = (v - Δv)^2 Δv = v - √v^2

Теперь, зная Δv, мы можем подставить его обратно в уравнение (2) и решить относительно h:

(1/2) * t * v^2 = (1/2) * t * (√v^2)^2 + M * g * h + (1/2) * M * (√v^2)^2

(1/2) * t * v^2 = (1/2) * t * v^2 + M * g * h + (1/2) * M * v^2

Теперь мы можем решить это уравнение относительно h:

M * g * h = 0

Отсюда видно, что высота поднятия шара над кольцом (h) равна нулю. Это означает, что шар не подпрыгнет над кольцом, если пуля попадает в него вертикально вверх.