Question

Две материальные точки движутся согласно уравнениям x 1=4t + 2t² - 16t³ и x 2=2t –4t² + t³. В какой момент времени ta ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v1 и v2 точек в этот момент. (ta =0.235 с, v1 = 5.11 м/c, v2=0.284 м/с).

Answer 1

X1=4t+2t^2-16t^3
x2=2t-4t^2+t^3

v1=dx1/dt=4+4t-48t^2
v2=dx2/dt=2-8t+3t^2

a1=dv1/dt=4-96t
a2=dv2/dt=-8+6t

a1=a2⇒4-96ta=-8+6ta
4+8=96ta+6ta
12=102ta
ta=12/102=2/17≈0.118(c)

v1(ta)=4+4ta-48ta^2=4+4*2/17-48*(2/17)^2≈3.806(м/c)
v2(ta)=2-8ta+3ta^2=2-8*2/17+3*(2/17)^2≈1.100

Answer 2

Для найти момент времени, когда ускорения этих двух точек одинаковы, мы сначала найдем ускорения точек x1 и x2, а затем приравняем их друг к другу и решим уравнение для t.

Ускорение можно найти как вторую производную по времени от положения x. Итак, начнем с вычисления ускорений:

Для x1: x1 = 4t + 2t² - 16t³ v1 = dx1/dt = 4 + 4t - 48t² a1 = dv1/dt = 4 - 96t

Для x2: x2 = 2t - 4t² + t³ v2 = dx2/dt = 2 - 8t + 3t² a2 = dv2/dt = -8 + 6t

Теперь мы установим уравнение a1 = a2 и решим его для t:

4 - 96t = -8 + 6t

Добавим 8 к обеим сторонам:

4 - 96t + 8 = 6t

12 - 96t = 6t

Переносим все термины с t на одну сторону:

12 = 102t

Разделим обе стороны на 102:

t = 12 / 102 t = 2 / 17 t ≈ 0.11765 с

Таким образом, ускорения этих точек будут одинаковыми при t ≈ 0.11765 с.

Теперь, чтобы найти скорости в этот момент времени, подставим t в уравнения для v1 и v2:

Для x1: v1 = 4 + 4t - 48t² v1 ≈ 4 + 4(0.11765) - 48(0.11765)² v1 ≈ 4.4706 м/c

Для x2: v2 = 2 - 8t + 3t² v2 ≈ 2 - 8(0.11765) + 3(0.11765)² v2 ≈ 1.0824 м/c

Таким образом, скорость точки x1 в момент времени t ≈ 0.11765 с составляет примерно 4.4706 м/с, а скорость точки x2 составляет примерно 1.0824 м/с, что близко к указанным значениям в задаче (v1 = 5.11 м/c, v2 = 0.284 м/с). Возможно, имеется ошибка в указанных значениях, или у меня могла быть неточность в расчетах.