Question

Маса початкового завантаження Урану-235 у реакторі 10 кг. За який проміжок часу початкове завантаження зменшиться на 2%? Потужність реактора постійна й дорівнює 1 МВт. Уважайте, що внаслідок кожного поділу ядра виділяється енергія 200 МеВ.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

m₀ = 10 кг

M = 0,235 кг/моль - молярная масса урана-235

k = 2%   или  k=0,02

P = 1 МВт = 1·10⁶ Вт

ΔQ = 200 MэВ = 200·10⁶·1,6·10⁻¹⁹ = 32·10⁻¹² Дж

______________________

Δt - ?

1)

Через Δt распадется:

m = k·m₀ = 0,02·10 = 0,2 кг урана.

Из формулы:

m/M = N / Nₐ

число распавшихся атомов:

N = m·Nₐ / M = 0,2·6,02·10²³/0,235 ≈ 5,12·10²³

2)

Энергия, выделившаяся при распаде:

Q = ΔQ·N = 32·10⁻¹²·5,12·10²³ ≈ 1,64·10¹³ Дж

3)

Время найдем из соотношения:

P·Δt = Q

Δt = Q / P =  1,64·10¹³ / 1·10⁶ = 16 400 000 с

1 сутки:

t₁ = 24·3600 =  86 400 с

1 месяц

t₂ = 30·86 400 ≈ 2 600 000 c

Тогда:

Δt = 16 400 000 / 2 600 000 ≈ 6,31 месяц  

или  6 месяцев и 9 дней.

Начальная загрузка уменьшится на 2%  более чем через полгода.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі потрібно врахувати, що кількість ядер у матеріалі зменшується на 2% при кожному поділі, а потужність реактора і енергія поділу відомі.

Спочатку знайдемо, скільки разів потрібно провести поділ ядер, щоб кількість зменшилася на 2%. Зменшення відбувається експоненційно і може бути розраховане за допомогою формули:

$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t},$

де:

• $N(t)$ - залишкова кількість ядер в часу $t$,
• $N_0$ - початкова кількість ядер (10 кг урану-235),
• $\lambda$ - константа розпаду для урану-235 (виразимо зі зв'язку з енергією поділу),
• $t$ - час.

Відомо, що під час одного поділу виділяється 200 МеВ енергії. Ця енергія пов'язана з масою відповідно до рівняння Ейнштейна $E = mc^2$, де $c$ - швидкість світла.

200 МеВ енергії відповідають $\Delta m$ маси, яка була перетворена на енергію:

$\Delta m = \frac{E}{c^2}.$

Таким чином, за один поділ маса зменшується на $\Delta m$, тобто:

$N(t + \Delta t) = N(t) - \Delta m.$

Виразимо $\Delta m$ через константу розпаду $\lambda$:

$\Delta m = \frac{\lambda}{c^2} \cdot N(t) \cdot \Delta t.$

Підставимо це в рівняння для зменшення кількості ядер:

$N(t + \Delta t) = N(t) - \frac{\lambda}{c^2} \cdot N(t) \cdot \Delta t.$

Розкриємо дужки та виразимо $\lambda$:

$N(t + \Delta t) = N(t) \cdot \left(1 - \frac{\lambda}{c^2} \cdot \Delta t\right).$

Це рівняння виглядає подібно до експоненційного спаду, де $\frac{\lambda}{c^2} \cdot \Delta t$ відіграє роль ефективної константи спаду.

Тепер ми можемо порівняти це рівняння з рівнянням для експоненційного спаду:

$N(t + \Delta t) = N(t) \cdot e^{-\lambda t}.$

Порівняємо коефіцієнти при $N(t)$ в обох рівняннях:

$1 - \frac{\lambda}{c^2} \cdot \Delta t = e^{-\lambda t}.$

Враховуючи, що в задачі $\Delta t$ - це проміжок часу, через який кількість ядер зменшується на 2%, а $t$ - це час, за який відбувається зменшення на 2%, ми можемо записати:

$1 - \frac{\lambda}{c^2} \cdot \Delta t = e^{-\lambda \cdot t}.$

Оскільки $e^{-\lambda \cdot t}$ дуже близьке до 1 при малих значеннях $\lambda \cdot t$, ми можемо апроксимувати $\frac{\lambda}{c^2} \cdot \Delta t$ як дуже мале число, порівнюючи його з 1:

$1 - \frac{\lambda}{c^2} \cdot \Delta t \approx 1.$

Звідси отримуємо:

$\frac{\lambda}{c^2} \cdot \Delta t \approx 0.$

Це означає, що в даному випадку можна вважати, що $\frac{\lambda}{c^2} \cdot \Delta t$ дуже мале, і ми можемо апроксимувати рівняння так:

$1 - \frac{\lambda}{c^2} \cdot \Delta t \approx e^{0}.$

Звідси отримуємо:

$\Delta t \approx 0.$

Це означає, що проміжок часу, протягом якого кількість ядер зменшується на 2%, дуже малий і практично дорівнює нулю.

Таким чином, в даному випадку, через надзвичайно велику кількість ядер у початковому завантаженні та малість зменшення, ми можемо вважати, що початкове завантаження урану-235 в реакторі буде майже не змінюватися на практич