Question

Колесо диаметра D катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. В некоторый момент времени скорость верхней точки B равна V0. Чему равно в этот момент ускорение в нижней точки А, которой колесо касается горизонтальной поверхности

Answer 1

Скорость центра колеса точки С равна Vc = 0,5Vo.

Угловая скорость колеса равна ω = Vc/R = 0,5Vo/R.

Ускорение точки А равно: а = ω²·R = 0,25Vo²/R

Радиус колеса равен R = 0,5D

Ускорение точки А: а = 0,5Vo²/D

Ответ: а = 0,5Vo²/D

Answer 2

Ускорение в нижней точке A, в которой колесо касается горизонтальной поверхности, можно выразить через угловое ускорение и радиус колеса. Угловое ускорение связано с линейным ускорением следующим образом:

a = α * r,

где:

• a - линейное ускорение (искомое значение) в нижней точке A,
• α - угловое ускорение (зависит от изменения угловой скорости),
• r - радиус колеса.

Угловое ускорение α можно выразить через изменение угловой скорости и время:

α = Δω / Δt,

где:

• α - угловое ускорение,
• Δω - изменение угловой скорости,
• Δt - изменение времени.

Известно, что скорость верхней точки B колеса равна V0. Если обозначить угол между горизонтальной линией и направлением к верхней точке B как θ, то угловая скорость можно выразить следующим образом:

ω = V0 / r,

где:

• ω - угловая скорость,
• V0 - скорость верхней точки B,
• r - радиус колеса.

Теперь мы можем выразить изменение угловой скорости Δω в зависимости от изменения угла θ и времени Δt:

Δω = Δθ / Δt.

Так как колесо катится без проскальзывания, то верхняя точка B двигается по дуге окружности, и изменение угла Δθ связано с изменением положения точки B:

Δθ = s / r,

где:

• Δθ - изменение угла между начальным и конечным положением точки B,
• s - длина дуги, которую прошла точка B.

Теперь мы можем выразить изменение угловой скорости Δω в зависимости от изменения положения точки B и времени Δt:

Δω = (s / r) / Δt.

Скорость верхней точки B в момент времени V0 связана с линейной скоростью точки B и радиусом колеса:

V0 = ω * r.

Теперь мы можем выразить линейную скорость точки B в зависимости от угловой скорости:

V0 = (Δθ / Δt) * r.

Теперь, собрав все выражения вместе, мы можем найти линейное ускорение a в нижней точке A:

a = α * r, a = (Δω / Δt) * r, a = ((s / r) / Δt) * r, a = (s / (r * Δt)) * r, a = (V0 / Δt) * r.

Таким образом, ускорение в нижней точке A в момент времени, когда скорость верхней точки B равна V0, равно a = (V0 / Δt) * r, где Δt - малый интервал времени, в течение которого изменилась скорость верхней точки B, и r - радиус колеса.