Question

воздушный пузырь всплывает в озере. радиус пузыря на глубине 70 м - 1 мм. каким станет радиус пузыря возде поверхности воды если его температура одинакова на всех глубинах?

Answer 1

• Поскольку температура одинакова ($T=\mathrm{const}$), то по закону Бойля-Мариотта для газа внутри пузыря выполняется условие $pV=\mathrm{const}$
• Обозначим положение $1$ пузыря его положением на глубине $h$, а положением $2$ - его положение у поверхности воды
• На глубине на пузырь будет действовать атмосферное давление $p_0$ с давлением столба жидкости плотностью $\rho$

$p_1=p_0+\rho gh$

• На поверхности же на пузырь давит только атмосферное

$p_2=p_0$

• На глубине пузырь имел радиус $r$, а на поверхности будет иметь $R$

$V_1=\dfrac{4}{3}\pi r^3\bigskip\\V_2=\dfrac{4}{3}\pi R^3$

• Воспользуемся полученным ранее условием $pV=\mathrm{const}$

$p_1 V_1=p_2 V_2\, ,\medskip\\\left(p_0+\rho gh\right)\dfrac{4}{3}\pi r^3=p_0\cdot\dfrac{4}{3}\pi R^3\, ,\medskip\\ R=r\sqrt[3]{\dfrac{p_0+\rho g h}{p_0}}$

• Подставим значения и найдём численный ответ

$R=1\,\mathrm{mm}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{10^5\,\mathrm{Pa}+7\cdot 10^5\,\mathrm{Pa}}{10^5\,\mathrm{Pa}}}=1\,\mathrm{mm}\cdot\sqrt[3]{8}=2\,\mathrm{mm}$

Ответ. $2\,\mathrm{mm}$

Answer 2

Для определения, каким станет радиус воздушного пузыря у поверхности воды, нам нужно учитывать закон Бойля-Мариотта, который описывает изменение объема газа при изменении давления и температуры, при условии, что количество вещества остается постоянным.

Закон Бойля-Мариотта гласит: P1V1/T1 = P2V2/T2, где P1 и T1 - начальное давление и температура, P2 и T2 - конечное давление и температура, а V1 и V2 - начальный и конечный объемы.

В данном случае у нас есть пузырь воздуха на глубине 70 метров. Давление увеличивается с увеличением глубины под водой. Температура в данной задаче одинакова на всех глубинах, поэтому T1 = T2.

Обозначим начальный радиус пузыря как R1 (1 мм) и его объем как V1. Затем, обозначим радиус пузыря на поверхности как R2 и его объем как V2.

На глубине 70 метров давление гораздо выше, чем на поверхности. Поэтому мы можем предположить, что объем пузыря на глубине (V1) можно выразить через его радиус и объем на поверхности (V2) следующим образом:

V1 = V2 * (P2 / P1)

Так как температура одинакова на всех глубинах, то T1 = T2, и можно считать, что P1 / T1 = P2 / T2. Следовательно:

V1 = V2

Теперь мы можем сказать, что радиус пузыря на поверхности (R2) будет таким же, как и на глубине, то есть 1 мм.

Итак, радиус пузыря останется равным 1 мм у поверхности воды, если температура одинакова на всех глубинах.