Question

Две ступеньки, возвышающиеся над горизонтальной плоскостью, имеют одинаковую высоту h и находятся на расстоянии L одна от другой. На краю одной ступеньки лежит маленький шарик. Тело, масса которого много больше массы шарика, налетает на шарик, соударяется с ним и сталкивает его со ступеньки. Какую скорость должно иметь тело, чтобы шарик после одного подскока от горизонтальной плоскости попал на вторую ступеньку? Все соударения абсолютно упругие. Сопротивление воздуха не учитывать.

Answer 1

Траектория шарика должна быть симметричной относительно двух ступенек. То есть за время падения он должен преодолеть половину расстояния между ними

Значит

$\displaystyleL/2 = v\sqrt{2h/g}\\v = \frac{L}{2}\sqrt{\frac{g}{2h}}$

Вот мы и узнали началюную скорость шарика

Известно, что если тело очень большой массы налетает на покоящееся маленькое тело, то скорость с которой отскакивает маленькое тело равна удвоенной скорости большого 2u. Доказать это можно, сев на большое тело (оно будет инерциальной системой отсчета, так как практически не потеряет скорости). В новой СО маленькое тело летит на большое со скоростью u а затем отскакивает от него с такой же по модулю скоростью u. Возвращаясь в СО связанную с землей мы сложим эту u и скорость движущейся системы, чтобы получить 2u.

Итого

$\displaystyle u = v/2 = \frac{L}{4}\sqrt{\frac{g}{2h}}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения механической энергии и импульса. Поскольку все соударения абсолютно упругие, механическая энергия и импульс будут сохраняться в системе.

1. Запишем закон сохранения механической энергии:

На начальной ступеньке (первой) у шарика будет потенциальная энергия и кинетическая энергия:

P1 + K1 = mgh + 0 = mgh

На второй ступеньке у шарика также будет потенциальная энергия и кинетическая энергия:

P2 + K2 = mgh + 0 = mgh

Поскольку высота и масса шарика не меняются, механическая энергия шарика остается постоянной на обеих ступеньках.

2. Запишем закон сохранения импульса вдоль направления движения:

До столкновения: m1 * v1 = m * u, где m1 - масса тела, v1 - его начальная скорость, m - масса шарика, u - их конечная скорость после столкновения.

После столкновения: m1 * v2 = m * v, где v2 - скорость тела после столкновения с шариком, v - скорость шарика после столкновения.

3. Зная, что механическая энергия остается постоянной, и используя формулу для кинетической энергии (K = 0.5 * масса * скорость^2), мы можем записать:

mgh = 0.5 * m1 * v2^2 + 0.5 * m * v^2

4. Теперь мы можем выразить v и v2 через начальную скорость v1:

mgh = 0.5 * m1 * (v1^2 - v2^2) + 0.5 * m * v^2

5. Из закона сохранения импульса мы также знаем, что:

m1 * v1 = m * u m1 * v2 = m * v

6. Подставим выражение для v2 из шага 5 в уравнение из шага 4:

mgh = 0.5 * m1 * (v1^2 - (m * u / m1)^2) + 0.5 * m * v^2

7. Теперь можем выразить v^2:

v^2 = (2 * mgh - m1 * v1^2) / m

8. Из шага 5 выразим u:

u = (m1 * v1) / m

9. Теперь подставим u в уравнение из шага 7:

v^2 = (2 * mgh - m1 * v1^2) / m

10. Извлечем корень из обеих сторон:

v = sqrt((2 * mgh - m1 * v1^2) / m)

Это уравнение позволяет нам вычислить скорость тела (v), необходимую для того, чтобы шарик после одного подскока от горизонтальной плоскости попал на вторую ступеньку, при условии, что все соударения абсолютно упругие и сопротивление воздуха не учитывается.