Question

По круговым орбитам вокруг Земли летают два спутника, причем скорость движения V1> первого спутника в два раза больше скорости движения V2 второго. Если радиус орбиты первого спутника равен R1 = 8000 км, то радиус орбиты R2 второго равен

Answer 1

Ответ:

дано R1=2*R2

для круговой орбиты

V2=√G*M/R2

V1=√G*M/R1

V2/V1=√R1/R2=√2

V1=V2/√2 ( ответ3)

Answer 2

Дано:

υ₁ = 2*υ₂

R₁ = 8000 км

R₂ - ?

Решение:

Нужно просто взять выражения радиусов орбит спутников и соотнести их друг к другу (простыми словами - поделить один радиус на другой).

Можно сразу брать готовую формулу для скорости υ = √(gR). Но мы выведем её (просто, чтобы не забывать, как получается такое выражение).

На каждый спутник действует сила тяготения Земли:

Fтяг = G*M*m/R², где (G*M/R²) - это ускорение свободного падения

По Второму закону Ньютона она является центростремительной силой:

Fтяг = F_ц.с.

Fтяг = m*a_ц.с.

G*M*m/R² = m*a_ц.с., где a_ц.с. = υ²/R =>

G*M*m/R² = mυ²/R | * (R/m)

G*M/R = υ²

Выражение слева мы можем записать вот так:

G*M/R = G*M*R/R² = (G*M/R²)*R = g*R =>

=> υ² = gR => υ = √(gR)

Мы получили выражение скорости спутника. Теперь для каждого спутника скорость будет равна:

υ₁ = √(g₁R₁) => υ₁² = g₁R₁

υ₂ = √(g₂R₂) => υ₂² = g₂R₂

Выражаем радиусы:

R₁ = υ₁²/g₁

R₂ = υ₂²/g₂

Соотносим их:

R₁/R₂ = (υ₁²/g₁) / (υ₂²/g₂) = (υ₁²/g₁) * (g₂/υ₂²) = υ₁²*g₂/(υ₂²*g₁)

Выражаем R₂:

R₂ = R₁ / [υ₁²*g₂/(υ₂²*g₁)] = R₁*(υ₂²*g₁)/(υ₁²*g₂)

Подставляем вместо υ₁ её выражение через υ₂:

R₂ = R₁*(υ₂²*g₁)/((2*υ₂)²*g₂) = R₁*(υ₂²*g₁)/(4*υ₂²*g₂) = R₁*g₁/(4*g₂) = (R₁/4)*(g₁/g₂)

Теперь возвращаемся к выражению для g:

g = G*M/R² =>

=> g₁ = G*M/R₁², g₂ = G*M/R₂² - подставляем в уравнение R₂:

R₂ = (R₁/4)*(g₁/g₂) = (R₁/4)*(G*M/R₁²)/(G*M/R₂²) = (R₁/4)*(G*M/R₁²)*(R₂²/(G*M)) = R₂²/(4R₁)

R₂ = R₂²/(4R₁) | : R₂

1 = R₂/(4R₁)

R₂ = 4R₁ = 4*8000 = 32000 км

Ответ: 32000 км.

Answer 3

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения механической энергии и центробежной силы.

Сначала найдем скорость первого спутника V1. Мы знаем, что его радиус орбиты R1 равен 8000 км. Можем воспользоваться формулой для центробежной силы:

$F = \frac{mv^2}{r},$

где F - центробежная сила, m - масса спутника (массы спутников предполагаются одинаковыми), v - скорость спутника, r - радиус орбиты.

Центробежная сила также связана с гравитационной силой:

$F = \frac{GMm}{r^2},$

где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, m - масса спутника.

Теперь можно приравнять обе центробежные силы и решить для скорости V1:

$\frac{mv_1^2}{R_1} = \frac{GMm}{R_1^2}.$

Массу спутника (m) можно сократить:

$v_1^2 = \frac{GM}{R_1}.$

Теперь мы знаем скорость V1, и по условию она в два раза больше скорости V2 второго спутника:

$V1 = 2 * V2.$

Теперь мы можем найти скорость V2:

$V2 = \frac{V1}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R1}}.$

Теперь у нас есть скорость V2, и мы можем найти радиус орбиты R2 для второго спутника, используя ту же формулу для центробежной силы:

$F = \frac{mv_2^2}{R_2} = \frac{GMm}{R_2^2}.$

Сократим массу спутника (m) и выразим R2:

$\frac{v_2^2}{R_2} = \frac{GM}{R_2^2}.$

$R_2^2 = \frac{GM}{v_2^2}.$

$R_2 = \sqrt{\frac{GM}{v_2^2}}.$

Подставим значение для v2, которое мы вычислили ранее:

$R_2 = \sqrt{\frac{GM}{\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R1}}\right)^2}}.$

Теперь можно вычислить R2:

$R_2 = \sqrt{\frac{GM}{\frac{1}{4}\frac{GM}{R1}}}.$

Сократим GM:

$R_2 = \sqrt{4R1} = 2\sqrt{R1} = 2\sqrt{8000 \text{ км}} = 2 * 89.44 \text{ км} \approx 178.88 \text{ км}.$

Таким образом, радиус орбиты второго спутника (R2) составляет примерно 178.88 км.