Question

Дифракционную решетку, период которой 0,01 мм, освещают белым светом (длины волн от 380 нм до 760 нм). Найдите ширину спектра первого порядка на экране, расположенном на расстоянии 170 см от решетки. Решение сопроводите рисунком. ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

d = 0,01 мм = 1·10⁻⁵ м

λ₁ = 380 нм = 380·10⁻⁹ м

λ₂ = 760 нм = 760·10⁻⁹ м

m = 1

L = 170 см = 1,70 м

__________________

Δx - ?

Сделаем чертеж.

Для малых углов:

sin φ ≈ tg φ = x / L

Формула дифракционной решетки:

d·sin φ = m·λ

d·x / L = m·λ

имеем:

x₁ = m·L·λ₁ / d

x₂ = m·L·λ₂ / d

Тогда:

Δx = x₂ - x₁ = (m·L/d)· (λ₂ - λ₁)

Δx = (1·1,70/1·10⁻⁵)· (760 - 380)·10⁻⁹ ≈ 0,065 м     или   65 мм

Answer 2

Для нахождения ширины спектра первого порядка, создаваемого дифракционной решеткой, можно воспользоваться формулой дифракции:

$d\sin(\theta) = m\lambda$

где:

• $d$ - период решетки,
• $\theta$ - угол между главным максимумом и порядком дифракции $m$,
• $m$ - порядок дифракции (в данном случае, первый порядок),
• $\lambda$ - длина волны света.

Мы знаем период решетки $d = 0,01$ мм $= 0,00001$ м, расстояние от решетки до экрана $L = 170$ см $= 1,7$ м и диапазон длин волн от 380 нм до 760 нм.

Сначала найдем угол дифракции $\theta$ для красной (760 нм) и фиолетовой (380 нм) границ спектра первого порядка:

Для красной границы: $d\sin(\theta_{\text{красный}}) = 1 \cdot 760 \times 10^{-9} \text{ м}$ $\sin(\theta_{\text{красный}}) = \frac{760 \times 10^{-9} \text{ м}}{0,00001 \text{ м}}$ $\theta_{\text{красный}} = \arcsin\left(\frac{760 \times 10^{-9} \text{ м}}{0,00001 \text{ м}}\right)$

Для фиолетовой границы: $d\sin(\theta_{\text{фиолетовый}}) = 1 \cdot 380 \times 10^{-9} \text{ м}$ $\sin(\theta_{\text{фиолетовый}}) = \frac{380 \times 10^{-9} \text{ м}}{0,00001 \text{ м}}$ $\theta_{\text{фиолетовый}} = \arcsin\left(\frac{380 \times 10^{-9} \text{ м}}{0,00001 \text{ м}}\right)$

Теперь, используя эти углы и расстояние до экрана, можно найти ширину спектра:

Для красной границы: $w_{\text{красный}} = 2L\tan(\theta_{\text{красный}})$

Для фиолетовой границы: $w_{\text{фиолетовый}} = 2L\tan(\theta_{\text{фиолетовый}})$

Таким образом, ширина спектра первого порядка будет равна разнице между ширинами для красной и фиолетовой границ:

$w_{\text{спектр}} = w_{\text{красный}} - w_{\text{фиолетовый}}$

После подстановки значений и вычислений вы получите ширину спектра первого порядка.