Question

Если два резистора соединить последовательно, то их эквивалентное сопротивление будет в 8 раз больше, чем при их параллельном соединении. Во сколько раз сопротивление одного резистора больше, чем сопротивление другого?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

R₁экв = 8·R₂экв

______________

R₂ / R₁ - ?

Соединение последовательное:

R₁экв = (R₁ + R₂)

Соединение параллельное:

R₂экв =  R₁·R₂ / (R₁ + R₂)

По условию:

(R₁ + R₂) = 8·R₁·R₂ / (R₁ + R₂)

8·R₁·R₂ = (R₁ + R₂)·(R₁ + R₂)

Разделим обе части равенства на R₁²:

8·R₁·R₂ / R₁²= (R₁ + R₂)·(R₁ + R₂) /R₁²

8·R₂/R₁ = (1 + R₂/R₁)·(1 + R₂/R₁)

Пусть k = R₂/R₁

Тогда:

8·k = (1+k)²

8·k = 1 + 2k + k²

Получили квадратное уравнение:

k² - 6·k + 1 = 0

Решая это уравнение, получаем:

k ≈ 6

Ответ:

R₂ / R₁ = 6

Answer 2

Пусть сопротивления двух резисторов равны R1 и R2 (где R1 > R2).

Когда резисторы соединены последовательно, их эквивалентное сопротивление (Re) вычисляется следующим образом:

Re = R1 + R2

Когда резисторы соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление (Re) вычисляется следующим образом:

1/Re = 1/R1 + 1/R2

Из условия задачи у нас есть следующее уравнение:

R1 + R2 = 8 * (1/((1/R1) + (1/R2)))

Сначала упростим правую сторону уравнения:

1/((1/R1) + (1/R2)) = 1/((R1 + R2)/(R1 * R2)) = (R1 * R2)/(R1 + R2)

Теперь у нас есть следующее уравнение:

R1 + R2 = 8 * (R1 * R2)/(R1 + R2)

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

R1 + R2 - 8 * (R1 * R2)/(R1 + R2) = 0

Далее мы можем умножить обе стороны на (R1 + R2), чтобы избавиться от дроби:

(R1 + R2)^2 - 8 * R1 * R2 = 0

Теперь раскроем квадрат:

R1^2 + 2 * R1 * R2 + R2^2 - 8 * R1 * R2 = 0

Теперь мы видим квадратное уравнение, и мы можем его решить. Умножим обе стороны на 1/4, чтобы упростить уравнение:

(1/4) * (R1^2 + 2 * R1 * R2 + R2^2 - 8 * R1 * R2) = 0

(1/4) * (R1^2 - 6 * R1 * R2 + R2^2) = 0

Теперь факторизуем левую сторону уравнения:

(1/4) * (R1 - 3 * R2)^2 = 0

Теперь мы видим, что левая сторона является квадратом числа. Значит, она равна нулю только тогда, когда R1 - 3 * R2 = 0.

Теперь решим это уравнение относительно R1:

R1 - 3 * R2 = 0

R1 = 3 * R2

Таким образом, сопротивление одного резистора (R1) в 3 раза больше, чем сопротивление другого резистора (R2).