Question

Кулька масою 200 г, що рухається зі швидкістю 4 м/с, зіштовхується з кулькою тієї ж маси, яка рухається назустріч їй зі швидкістю 1 м/с. Уважаючи удар центральним і пружним, обчисліть швидкість кульок після удару.

Answer 1

Ответ:

Збереження моменту імпульсу передбачає, що скалярна сума імпульсів перед та після зіткнення повинна дорівнювати одна одній. Також зберігається кінетична енергія удару, оскільки він є пружним.

Позначимо через m масу кульки, з якою зіткнулась перша кулька, тоді на підставі закону збереження моменту імпульсу:

m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * u1 + m2 * u2,

де m1, m2, v1, v2 - маси та швидкості кульок перед зіткненням, а u1, u2 - швидкості кульок після зіткненням.

Застосуємо закон збереження кінетичної енергії:

1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * u1^2 + 1/2 * m2 * u2^2.

Перепишемо перший рівняння відносно u2:

u2 = [(m1 - m2) * v1 + 2 * m2 * v2] / (m1 + m2),

а друге рівняння можна спростити до вигляду:

u1 = (v1 * (m1 - m2) + 2 * m2 * v2) / (m1 + m2).

Підставляємо відповідні значення:

m1 = m2 = 200 г = 0,2 кг,

v1 = 4 м/с,

v2 = -1 м/с (напрямок руху другої кульки протилежний напрямку руху першої кульки),

тоді:

u2 = [(0,2 - 0,2) * 4 + 2 * 0,2 * (-1)] / (0,2 + 0,2) = 0 м/с,

u1 = (4 * (0,2 - 0,2) + 2 * 0,2 * (-1)) / (0,2 + 0,2) = 0 м/с.

Отже, обидві кульки зупиняються після зіткнення.

Answer 2

Для обчислення швидкостей кульок після удару скористаємося законами збереження кінетичної енергії та імпульсу в пружньому центральному зіткненні.

1. Збереження кінетичної енергії: Кінетична енергія до удару дорівнює кінетичній енергії після удару:

$\frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2$

2. Збереження імпульсу: Сума імпульсів до удару дорівнює сумі імпульсів після удару:

$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$

Маємо дані:

• $m_1 = m_2 = 200 \, \text{г} = 0.2 \, \text{кг}$ (маси кульок)
• $v_{1i} = 4 \, \text{м/с}$ (швидкість першої кульки перед ударом)
• $v_{2i} = -1 \, \text{м/с}$ (швидкість другої кульки перед ударом, оскільки вона рухається назустріч)
• $v_{1f}$ та $v_{2f}$ (швидкості кульок після удару, які потрібно знайти)

Розрахунки:

1. Збереження кінетичної енергії: Після спрощення рівняння ми отримаємо вираз для $v_{1f}^2$ та $v_{2f}^2$:

   $v_{1f}^2 = \frac{4m_2v_{2i}^2 + v_{1i}^2(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2}$

   $v_{2f}^2 = \frac{4m_1v_{1i}^2 + v_{2i}^2(m_2 - m_1)}{m_1 + m_2}$

2. Збереження імпульсу: Підставляємо значення в рівняння збереження імпульсу та вирішуємо відносно $v_{1f}$ та $v_{2f}$:

   $v_{1f} = \frac{v_{1i}(m_1 - m_2) + 2m_2v_{2i}}{m_1 + m_2}$

   $v_{2f} = \frac{v_{2i}(m_2 - m_1) + 2m_1v_{1i}}{m_1 + m_2}$

Тепер підставимо відомі значення та розрахуємо $v_{1f}$ та $v_{2f}$