Question

К двум диэлектрическим платинам с проницаемостями e1 =5 и e2 =7, прижатыми друг к другу, приложено напряжение 1200В. Найти поверхностную плоскость связанных электрических зарядов на границе раздела, если толщины обоих слоёв одинаковы и равны 1 см

Answer 1

Пусть в пластинах напряжённости E1, E2. Обозначим E=U/(2d), d=1 cm.
Имеем:
E1+E2=2E;
e1E1=e2E2
σ/e0=E2-E1
Отсюда (проверьте!) я получил пов. плотность
σ=2e0E*(e2-e1)/(e2+e1)

Answer 2

Давайте рассмотрим систему с двумя диэлектрическими пластинами с проницаемостями $ε_1 = 5$ и $ε_2 = 7$ приложенными друг к другу. Напряжение между пластинами $U = 1200 \, \text{В}$, а толщина каждого слоя $d = 1 \, \text{см} = 0.01 \, \text{м}$.

Мы можем воспользоваться формулой для емкости конденсатора с двумя диэлектрическими слоями:

$$C = \frac{{k \cdot \varepsilon_0 \cdot A}}{{d_1 + d_2}}$$

где $C$ - емкость конденсатора, $k$ - относительная диэлектрическая проницаемость, $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная ($\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}$), $A$ - площадь пластин, $d_1$ и $d_2$ - толщины диэлектриков.

Так как у нас толщина каждого слоя одинакова, $d_1 = d_2 = d$. Мы можем выразить емкость $C$ через проницаемости:

$$C = \frac{{k \cdot \varepsilon_0 \cdot A}}{{2d}}$$

Теперь мы можем найти заряд $Q$ на конденсаторе, используя формулу для емкости:

$$U = \frac{Q}{C} \quad \Rightarrow \quad Q = U \cdot C$$

Подставим выражение для $C$:

$$Q = U \cdot \frac{{k \cdot \varepsilon_0 \cdot A}}{{2d}}$$

Мы также можем использовать формулу для емкости пластин конденсатора:

$$C = \frac{{\varepsilon \cdot A}}{{d}}$$

где $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды между пластинами. Для нашего случая это будет среднее гармоническое:

$$\frac{2}{\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon_1} + \frac{1}{\varepsilon_2} \quad \Rightarrow \quad \varepsilon = \frac{2\varepsilon_1 \varepsilon_2}{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}$$

Подставим это в формулу емкости:

$$C = \frac{{\varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdot A}}{{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}} \cdot \frac{1}{d}$$

Теперь мы можем найти заряд $Q$ с использованием этой новой формулы:

$$Q = U \cdot C = U \cdot \frac{{\varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdot A}}{{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}} \cdot \frac{1}{d}$$

Теперь мы имеем заряд $Q$ на границе раздела. Поверхностная плотность заряда $\sigma$ можно найти, разделив заряд на площадь пластин:

$$\sigma = \frac{Q}{A}$$

Теперь мы можем подставить значения и рассчитать результат. Не забудьте преобразовать все размерности в СИ единицы.