Question

Две идеальные тепловые машины с к.п.д. η₁ и η₂ объединены в одну так, что холодильник одной из них служит нагревателем другой. Найти к.п.д. η такой машины.

Answer 1

Другой вывод той-же формулы во вложении

Answer 2

Η₂ = (T₃ - T₂)/T₃
η₁ = (T₂ - T₁)/T₂
Пусть Т₁ = 1 К
η₁ = (T₂ - 1)/T₂
T₂η₁ = T₂ - 1
T₂η₁ = T₂ - 1
T₂ - T₂η₁ = 1
T₂ = 1/(1-η₁)
переходим ко второй машине, более "тёплой"
η₂ = (T₃ - T₂)/T₃
η₂ = (T₃ - 1/(1-η₁))/T₃
η₂T₃ = T₃ - 1/(1-η₁)
T₃(1-η₂) = 1/(1-η₁)
T₃ = 1/((1-η₁)*(1-η₂))
А суммарный КПД
η = (T₃ - 1)/T₃ = 1 - 1/T₃ 
η = 1 - (1-η₁)*(1-η₂)

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся тем, что к.п.д. (КПД) тепловой машины определяется как отношение полезной работы к затраченной энергии:

КПД = (полезная работа) / (затраченная энергия).

Пусть у нас есть две тепловые машины с к.п.д. η₁ и η₂. Первая машина работает как холодильник, поглощает тепло с низкой температуры и отдаёт тепло на более высокую температуру (выполняет холодильный цикл). Вторая машина работает как тепловой двигатель, получает тепло от первой машины на более высокой температуре и отдаёт работу.

Давайте обозначим КПД объединенной машины как η. Тогда полезная работа, которую мы получаем от объединенной машины, равна работе второй машины, и она будет отрицательной, так как машины работают в противоположных направлениях.

Теперь рассмотрим, какие тепловые потоки происходят в этой системе:

1. Первая машина (холодильник) поглощает тепло Q₁ на низкой температуре и отдаёт Q₂ на более высокой температуре.

2. Вторая машина (тепловой двигатель) поглощает тепло Q₂ на более высокой температуре и отдаёт работу W.

Из закона сохранения энергии следует, что полезная работа W, которую получаем от объединенной машины, должна быть равна разнице тепловых потоков:

W = Q₂ - Q₁.

Теперь мы можем записать к.п.д. объединенной машины η:

η = W / (Q₂ + Q₁).

Так как машины являются идеальными, то справедливо:

η₁ = Q₂ / Q₁ и η₂ = W / Q₂.

Теперь решим систему уравнений для Q₂ и Q₁:

1. η₁ = Q₂ / Q₁
2. η₂ = W / Q₂

Q₂ = W / η₂.

Теперь подставим значение Q₂ в уравнение (1):

η₁ = (W / η₂) / Q₁

Изолируем Q₁:

Q₁ = W / (η₁ * η₂).

Теперь, чтобы найти η, подставим значения Q₁ и Q₂ в выражение для η:

η = W / (Q₂ + Q₁)

η = W / (W / η₂ + W / (η₁ * η₂))

η = 1 / (1 / η₂ + 1 / (η₁ * η₂))

И, наконец, упростим:

η = 1 / (1 + 1 / η₁).

Таким образом, к.п.д. объединенной машины η будет равна:

η = 1 / (1 + 1 / η₁).

Итак, это выражение позволяет найти к.п.д. объединенной машины при условии, что у нас есть значения к.п.д. каждой отдельной машины (η₁ и η₂).