Question

В шаре радиуса 2R, несущем равномерно распределенный заряд с объемной плотностью р = 10мкКл/м3, сделан сферический вырез радиусом R. Используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найти напряженность Е поля в точках О, А и В. Радиус R = 10 см.

Answer 1

Рассмотрим равномерно заряженный шар. Внутри шара можно выбрать сферическую поверхность радиусом r с центром в центре шара. Поле E везде направлено радиально, значит перпендикулярно выбранной поверхности, и зависит только от расстояния до центра шара (т.к. все симметрично).
Раз поле везде на поверхности одинаково и перпендикулярно ей, значит поток поля E через поверхность:
Ф(r) = E(r) S(r)
где E(r) - модуль напряженности на расстоянии r от центра, а S(r) - площадь поверхности сферы радиусом r. (S(r)=4пr^2)
По теореме Гаусса поток равен (с точностью до множителя) полному заряду внутри поверхности:
Ф(r) = Q(r) / eo 
Q(r) = (4п/3) r^3 p - заряд внутри сферы радиусом r. (p - плотность заряда)
4 п r^2 E(r) =  (4п/3) r^3 p

E(r) = p r /3 - Напряженность поля внутри шара на расстоянии r от центра.

Снаружи шара поле от него как точечного заряда в центре шара.

Ну теперь вам осталось применить аддитивность. Шар с незаряженной областью это то же самое, что заряженный полностью шар, а внутри область с противоположным по знаку зарядом. на тоже шар. А поле шара внутри мы уже получили. Осталось сложить поля (векторно) и получить ответ. Удачи)

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. Эта теорема утверждает, что поток электрического поля через замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную (ε₀).

Так как заряд равномерно распределен внутри шара, то поле внутри шара может быть вычислено как будто бы весь заряд сконцентрирован в его центре (принцип суперпозиции электрических полей). Это верно для любой замкнутой поверхности, содержащей центр сферы.

1. Рассмотрим точку О - центр сферы. Внутри сферы поле будет равномерным, и его напряженность можно найти, используя теорему Остроградского-Гаусса. Поток электрического поля через замкнутую поверхность сферы радиусом R будет равен заряду, заключенному внутри этой поверхности:

Ф = Q_вс / ε₀

где Q_вс - полный заряд внутри сферы.

Заряд сферы можно найти, умножив его объемную плотность на объем сферы:

Q_вс = p * V

V = (4/3) * π * R^3

Таким образом, Q_вс = 10 μКл/м³ * (4/3) * π * (10 см)^3 = 10 μКл/м³ * (4/3) * π * 10^3 см³ = 10 μКл/м³ * 4 * π * 10^3 см³ ≈ 125663 μКл.

Теперь можно найти поток электрического поля:

Ф = 125663 μКл / ε₀

2. Рассмотрим точку А - точка на поверхности сферы (вырез). Так как вырез радиусом R делает поле неоднородным, нам нужно вычислить поле в точке А с помощью принципа суперпозиции электрических полей. Мы можем представить систему из двух зарядов: один заряд Q_вс, расположенный в центре сферы, и второй заряд -Q_вс, расположенный в центре выреза. Знак второго заряда отрицательный, так как это вырез.

Теперь можно найти поле в точке А, вызванное обоими зарядами, как сумму этих полей:

E_А = k * |Q_вс| / R^2 - k * |Q_вс| / R^2

E_А = 2 * k * |Q_вс| / R^2

где k - это электрическая постоянная (k ≈ 8.99 * 10^9 Н * м² / Кл²).

Теперь можно подставить значение Q_вс и R:

E_А = 2 * (8.99 * 10^9 Н * м² / Кл²) * 125663 μКл / (0.1 м)^2 ≈ 2.81 * 10^9 Н / Кл.

3. Рассмотрим точку В - точку на поверхности выреза. Поле в точке В также будет неоднородным. Мы можем представить систему из двух зарядов: один заряд Q_вс, расположенный в центре сферы, и второй заряд Q_вырез, расположенный в центре выреза.

Теперь можно найти поле в точке В, вызванное обоими зарядами:

E_В = k * |Q_вс| / R^2 + k * |Q_вырез| / R^2

Так как заряд внутри выреза равен обратному по знаку заряду внутри сферы, Q_вырез = -Q_вс, то:

E_В = k * |Q_вс| / R^2 - k * |Q_вс| / R^2

E_В = 0.

Таким образом, в точке В поле равно нулю.

Итак, напряженность поля E:

в точке О (центр сферы): E_О ≈ Ф / (4 * π * R^2 * ε₀) ≈ (125663 μКл / ε₀) / (4 * π * (0.1 м)^2) ≈ 8.99 * 10^9 Н / Кл.

в точке А (на поверхности сферы): E_А ≈ 2.81 * 10^9 Н / Кл.

в точке В (на поверхности выреза): E_В = 0.

Обратите внимание, что напряженность поля в точке В равна нулю, потому что поля от двух зарядов в данной точке складываются и взаимно уничтожаются.