Question

Найдите, на какой высоте над поверхностью Земли атмосферное давление в три раза меньше, чем на ее поверхности. Температура 290 К, молярная масса воздуха 29 кг/кмоль, R = 8,31 Дж/(моль.К).

Answer 1

Bp барометрической формулы:

p = p₀·exp( -M*g*h/(R*T))

Находим:

(p₀/p) = exp (M*g*h/(R*T))

Логарифмируем:

ln(p₀/p) = M*g*h/(R*T)

h = ln(p₀/p)*(R*T) / (M*g)

h = ln (3)*8,31*290 / (0,029*10) ≈ 9 000 м или 9 км

Answer 2

Дано:

T = 290 K

M = 29 кг/кмоль = 29*10^(-3) кг/моль

R = 8,31 Дж/мольК

p=p0/3

Решение:

Согласно барометрической формуле:

$p=p_{0} e^{\frac{-Mgh}{RT}} \\ lnp = lnp_{0} - \frac{Mgh}{RT} \\ ln\frac{p_{0}}{p} = \frac{Mgh}{RT} \\ h = \frac{RT}{Mg} * ln\frac{p_{0}}{p} = \frac{8,31*290}{0,029*9,81} *ln3 = 9306 м =9,3 км$

Answer 3

Для нахождения высоты, на которой атмосферное давление в три раза меньше, чем на поверхности Земли, можно использовать уравнение идеального газа:

$P = \frac{{\rho \cdot R \cdot T}}{M}$

где: $P$ - атмосферное давление, $\rho$ - плотность воздуха, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура, $M$ - молярная масса воздуха.

Мы знаем, что на высоте $h$ атмосферное давление составляет одну треть от давления на поверхности, то есть $P_h = \frac{1}{3}P_0$, где $P_0$ - давление на поверхности Земли.

Также, связь между плотностью и давлением в идеальном газе задается формулой:

$P = \rho \cdot R \cdot T$

Теперь, зная эти соотношения, можем составить уравнение для высоты $h$:

$P_h = \frac{1}{3}P_0 = \rho_h \cdot R \cdot T$

$\rho_h$ - плотность на высоте $h$.

Так как молярная масса воздуха $M$ остается постоянной, то отношение плотностей воздуха на разных высотах $\rho_0 / \rho_h$ будет равно отношению давлений $P_h / P_0$:

$\frac{\rho_0}{\rho_h} = \frac{P_h}{P_0}$

Теперь подставим $P_h = \frac{1}{3}P_0$ и выразим $\rho_h$:

$\frac{\rho_0}{\rho_h} = \frac{\frac{1}{3}P_0}{P_0} = \frac{1}{3}$

$\rho_h = 3 \cdot \rho_0$

Теперь у нас есть связь между плотностью на высоте $h$ и плотностью на поверхности Земли $\rho_0$.

Для идеального газа также верно:

$\rho = \frac{P \cdot M}{R \cdot T}$

где $\rho$ - плотность газа.

Теперь подставим полученное выражение для $\rho_h$:

$\rho_h = \frac{P_h \cdot M}{R \cdot T} = 3 \cdot \frac{P_0 \cdot M}{R \cdot T} = 3 \cdot \rho_0$

Теперь выразим высоту $h$ через известные величины:

$\frac{P_0 \cdot M}{R \cdot T} = 3 \cdot \frac{P_0 \cdot M}{R \cdot 290}$

Теперь $P_0$ и $M$ сократятся:

$\frac{1}{R \cdot 290} = \frac{1}{3 \cdot R \cdot h}$

Теперь найдем $h$:

$h = \frac{290}{3}$

$h \approx 96.67 \, \text{км}$

Таким образом, атмосферное давление в три раза меньше, че