Question

Помогите с физикой Математический маятник длины 50 см совершает небольшие колебания в среде с коэффициентом затухания 0,9 с-1 Определить время и число полных колебаний, по истечении которых амплитуда колебаний маятника уменьшится в 5 раз.

Answer 1

При отсутствии трения малые колебания маятника в вертикальной плоскости происходят по гармоническому закону, причем собственная циклическая частота математического маятника, как известно, зависит только от длины подвеса: ω0=g/l. (1) Вследствие трения колебания маятника будут затухающими: ϕ=ϕe−βtsin⁡ωt, где ϕ — угол отклонения нити маятника от вертикали в момент t. (Очевидно, записанный закон движения соответствует такому началу отсчета времени, что при t=0 маятник проходит через положение равновесия, т. е. ϕ=0.) Период затухающих колебаний (период гармонического сомножителя) T=2π/ω=2π/ω02−β2. (2) Амплитудой затухающих колебаний принято считать выражение, стоящее перед гармоническим сомножителем. В соответствии с этим определением амплитуда А затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону: A(t)=ϕ0e−βt. (3) Записав выражения амплитуды для двух моментов t и t+τ и учитывая, что отношение этих амплитуд задано, можно найти искомое время τ. Число n полных колебаний за это время можно определить, если известен период T. Затухающие колебания по записанному выше закону возникают, как следует из решения соответствующего дифференциального уравнения, только при условии β<ω0 [это очевидно из выражения (2): при β>ω0 период и циклическая частота оказываются мнимыми величинами]. При β≥ω0 происходит апериодический процесс, закон движения которого ϕ=B1e−δ1t+B2e−δ2t, где B1 и B2 — постоянные, определяемые из начальных условий; δ1,2=β±β2−ω02. Запишем выражения (3) для моментов времени t и t+τ: A1=ϕ0e−βt,A2=ϕ0e−β(t+τ). Отношение амплитуд; A1/A2=eβτ=5. Логарифмируя это выражение, находим сτ=ln5/β=1,79с. Число полных колебаний, прошедших за время τ, очевидно, равно отношению n=τ/T. Определив из выражения (1) собственную циклическую частоту математического маятника и подставив ее в выражение (2), получим сT=1,45с.

Answer 2

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для амплитуды затухающих колебаний математического маятника:

$A(t) = A_0 \cdot e^{-\gamma t},$

где:

• $A(t)$ - амплитуда колебаний в момент времени $t$,
• $A_0$ - начальная амплитуда колебаний (в момент времени $t = 0$),
• $\gamma$ - коэффициент затухания,
• $t$ - время.

Мы знаем, что амплитуда уменьшается в 5 раз. Пусть $A_f$ - конечная амплитуда, равная начальной амплитуде $A_0$ умноженной на 5:

$A_f = 5 \cdot A_0.$

Также нам дан коэффициент затухания $\gamma = 0.9$ с^-1.

Для нахождения времени $t$ нам необходимо приравнять амплитуду в момент времени $t$ и конечную амплитуду, а затем решить уравнение относительно $t$:

$A(t) = 5 \cdot A_0$ $A_0 \cdot e^{-\gamma t} = 5 \cdot A_0$ $e^{-\gamma t} = 5$ $-\gamma t = \ln(5)$ $t = -\frac{\ln(5)}{\gamma}$

Теперь, чтобы найти количество полных колебаний $N$ через это время, мы знаем, что период колебаний математического маятника $T$ связан с коэффициентом затухания $\gamma$ следующим образом:

$\gamma = \frac{1}{2\pi T}.$

Таким образом, можно найти период колебаний $T$:

$T = \frac{1}{2\pi \gamma}.$

Зная период колебаний, можно определить количество полных колебаний $N$ за время $t$:

$N = \frac{t}{T}.$

Теперь давайте подставим значения и решим:

$t = -\frac{\ln(5)}{\gamma} = -\frac{\ln(5)}{0.9} \approx -3.127.$

Поскольку время не может быть отрицательным, возьмем абсолютное значение времени:

$t \approx 3.127 \text{ секунды}.$

Теперь найдем период колебаний $T$:

$T = \frac{1}{2\pi \gamma} = \frac{1}{2\pi \cdot 0.9} \approx \frac{1}{5.654} \approx 0.177 \text{ секунды}.$

И, наконец, найдем количество полных колебаний $N$:

$N = \frac{t}{T} = \frac{3.127}{0.177} \approx 17.651.$

Таким образом, после примерно 3.127 секунды маятник совершит примерно 17.651 полных колебаний.