Question

Под каким углом к горизонту надо бросить камень, чтобы его кинетическая энергия в верхней точке была в два раза меньше потенциальной? Сопротивлением воздуха пренебречь

Answer 1

Скорость тела в высшей точке траектории равна $v_{0}\cos\alpha$; Максимальная высота полета тела: $h_{max}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$;

$2\frac{mv_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}{2}=mg \frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}\Leftrightarrow \cos^{2}\alpha =\frac{\sin^{2}\alpha}{2}\Leftrightarrow \tan^{2}\alpha =2$

$\alpha =\arctan \sqrt{2}\approx 54,7^{0}$

Answer 2

Давайте обозначим угол, под которым камень брошен, как θ (тета).

Кинетическая энергия камня в верхней точке траектории будет равна его потенциальной энергии.

Кинетическая энергия (K) вычисляется по формуле: K = (1/2) * m * v^2, где m - масса камня, v - его скорость.

Потенциальная энергия (P) определяется как: P = m * g * h, где g - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.81 м/с^2), h - высота камня над землей в верхней точке траектории.

У нас дано условие, что кинетическая энергия в верхней точке равна половине потенциальной:

(1/2) * m * v^2 = (1/2) * m * g * h

Массу камня (m) можно сократить с обеих сторон уравнения.

Теперь нужно выразить скорость (v) через другие величины. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии, который гласит, что полная механическая энергия системы остается постоянной при отсутствии не консервативных сил, таких как сила трения или сопротивление воздуха.

Так как у нас отсутствует сопротивление воздуха, полная механическая энергия в любой точке траектории будет равна сумме кинетической и потенциальной энергии:

K + P = (1/2) * m * v^2 + m * g * h

Таким образом, механическая энергия в начальной точке броска (на уровне земли) равна механической энергии в верхней точке траектории:

(1/2) * m * v_0^2 = (1/2) * m * v^2 + m * g * h

где v_0 - начальная скорость камня.

Выразим v^2 из этого уравнения:

v^2 = v_0^2 - 2 * g * h

Теперь можем найти угол θ, при котором кинетическая энергия в верхней точке будет в два раза меньше потенциальной. Кинетическая энергия в верхней точке равна (1/2) * m * v^2, а потенциальная энергия равна m * g * h:

(1/2) * m * v^2 = (1/2) * m * g * h

Подставим значение v^2:

(1/2) * m * (v_0^2 - 2 * g * h) = (1/2) * m * g * h

Сократим m с обеих сторон уравнения:

(v_0^2 - 2 * g * h) = g * h

Теперь выразим v_0^2 (начальную скорость камня) через h (высоту вертикального подъема) и g (ускорение свободного падения):

v_0^2 = 3 * g * h

Теперь у нас есть выражение для начальной скорости камня. Используем теперь закон сохранения момента импульса для нахождения угла θ.

Момент импульса (L) камня в любой точке траектории остается постоянным (так как нет моментов сил, не сохраняющих момент импульса):

L = m * v * d, где d - горизонтальное расстояние, пройденное камнем.

Теперь у нас есть начальная скорость камня (v_0) и закон сохранения момента импульса:

m * v_0 * d = L

Выразим d через h и θ, где R - горизонтальное расстояние, на которое долетает камень:

d = R * cos(θ)

Теперь можем найти угол θ, при котором кинетическая энергия в верхней точке будет в два раза меньше потенциальной:

(v_0^2 - 2 * g * h) = g * h

(3 * g * h - 2 * g * h) = g * h

g * h = g * h

Таким образом, угол θ не зависит от высоты подъема и будет таким, при котором:

cos(θ) = R/d

Так как d=R*cos(θ):

cos(θ) = R/(R*cos(θ))

Теперь сократим R с обеих сторон:

1 = cos(θ)

Таким образом, угол θ равен 0 градусов, то есть камень должен быть брошен горизонтально.