Question

Два математических маятника с одинаковой длиной нитей совершают гармонические колебания: один-на поверхности Земли, другой-на поверхности Марса. Определите, во сколько раз отличаются ускорения свободного падения на поверхности этих планет, если период колебаний маятника на поверхности земли в α=1.59 раза меньше периода колебаний маятника на поверхности Марса

Answer 1

Дано:

L₁=L₂=L;

T₂/T₁=α=1.59;

__________

Найти g₁/g₂

Решение:

Распишем выражения для периодов колебаний обоих маятников, при этом индекс 1 будет относится к Земле, а индекс 2 к Марсу:

$\displaystyle T_1=2\pi \sqrt{\frac{L}{g_1} }$

$\displaystyle T_2=2\pi \sqrt{\frac{L}{g_2} }$

Их отношение:

$\displaystyle \frac{T_2}{T_1}=2\pi \sqrt{\frac{L}{g_2} }*\frac{1}{2\pi } \sqrt{\frac{g_1}{L} }=\sqrt{\frac{g_1}{g_2} }=\alpha$

Таким образом:

$\displaystyle \frac{g_1}{g_2} =\alpha ^2$

Выполним подстановку и расчет:

$\displaystyle \frac{g_1}{g_2}=1.59^2=2.53$

Таким образом, ускорение свободного падения на Земле в 2,53 раза больше ускорения свободного падения на Марсе

Ответ: 2,53.

Answer 2

Для определения ускорения свободного падения на поверхности Земли и Марса, воспользуемся формулой периода колебаний математического маятника:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

где: $T$ - период колебаний маятника, $L$ - длина нити маятника, $g$ - ускорение свободного падения.

Мы знаем, что период колебаний маятника на Земле ($T_{\text{Земля}}$) составляет $\alpha = 1.59$ раза меньше периода колебаний маятника на Марсе ($T_{\text{Марс}}$), и что длины нитей у маятников одинаковы ($L_{\text{Земля}} = L_{\text{Марс}}$).

Можем записать соотношение для периодов колебаний:

$T_{\text{Земля}} = \alpha \cdot T_{\text{Марс}}$

Теперь мы можем выразить ускорение свободного падения на Земле ($g_{\text{Земля}}$) и на Марсе ($g_{\text{Марс}}$) через формулу периода:

$g_{\text{Земля}} = \frac{4\pi^2 L}{T_{\text{Земля}}^2}$ $g_{\text{Марс}} = \frac{4\pi^2 L}{T_{\text{Марс}}^2}$

Теперь, подставив выражение для $T_{\text{Земля}}$ из первого соотношения, получаем:

$g_{\text{Земля}} = \frac{4\pi^2 L}{(\alpha \cdot T_{\text{Марс}})^2} = \frac{4\pi^2 L}{\alpha^2 \cdot T_{\text{Марс}}^2} = \frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{4\pi^2 L}{T_{\text{Марс}}^2} = \frac{1}{\alpha^2} \cdot g_{\text{Марс}}$

Таким образом, ускорение свободного падения на Земле ($g_{\text{Земля}}$) отличается от ускорения свободного падения на Марсе ($g_{\text{Марс}}$) в $\frac{1}{\alpha^2}$ раза.

Для данного случая, когда $\alpha = 1.59$, подставим и вычислим:

$\frac{1}{\alpha^2} = \frac{1}{1.59^2} \approx 0.395$

Таким образом, ускорение свободного падения на Земле примерно в 0.395 раза меньше, чем на Марсе.