Question

Горизонтальная платформа массой 200 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R/2 м? Платформа – однородный диск радиусом R, человек – точечная масса. Как можно подробнее.

Answer 1

Здесь работает закон сохранения момента импульса. Как известно, момент импульса равен векторному произведению радиус-вектора на импульс.

Lч1 + I*w1 = Lч2 + I*w2, где I - это момент инерции платформы

как известно, момент инерции диска (h - высота платформы) I = ∫R^2*dm = ∫ρ2πRdRh*r^2 = 2ρπhR^4/4 = mR^2/2

R^2*mч*w1 + w1*mR^2/2 = (R/2)^2 * mч * w2 + w2*mR^2/2

w2 = w1(mч + (m/2))/(mч/4 + m/2)

w2 = 10*(60 + 100)/(15 + 100) с^-1 ≈ 14  с^-1

мог накосячить в подсчетах, перепроверь

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса. Момент импульса системы до и после изменения положения человека должен оставаться неизменным.

Изначально, момент импульса системы (платформы) равен моменту инерции платформы, умноженному на её угловую скорость. После перемещения человека момент импульса системы должен остаться равным и моменту инерции платформы после изменения расстояния R/2 умноженному на её новую угловую скорость.

Момент инерции платформы вращающегося диска относительно вертикальной оси в центре равен:

$I_1 = \frac{1}{2}m_1R^2,$

где m1 - масса платформы (200 кг), R - радиус платформы.

Момент инерции платформы после изменения положения человека (человек рассматривается как точечная масса, находящаяся на расстоянии R/2) будет:

$I_2 = \frac{1}{2}m_1\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}m_1\frac{R^2}{4} = \frac{1}{4}m_1R^2.$

Так как момент импульса остается неизменным:

$I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2,$

где $\omega_1$ - изначальная угловая скорость платформы, $\omega_2$ - угловая скорость платформы после перемещения человека.

Решим уравнение относительно $\omega_2$:

$\omega_2 = \frac{I_1 \cdot \omega_1}{I_2} = \frac{2 \cdot I_1 \cdot \omega_1}{m_1 \cdot R^2}.$

Теперь подставим известные значения:

$\omega_2 = \frac{2 \cdot (0.5 \cdot 200 \cdot R^2) \cdot 10}{200 \cdot R^2} = \frac{2000}{200} = 10 \text{ об/с}.$

Таким образом, угловая скорость платформы остается неизменной и равной 10 оборотам в секунду после того, как человек переместился на расстояние R/2 метра от центра платформы.