Question

Горизонтальная платформа массой 20 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 6 об/мин. Человек массой 60кг стоит при этом на краю платформы. Какую работу совершает человек при переходе от края платформы к её центру? Считать платформу круглым однородным диском радиусом 1 м, а человека — точечной массой.

Answer 1

F₁ = 6 мин⁻¹ = 0.1 с⁻¹ - начальная частота вращения платформы
ω₁ = 2пf₁ = 0.628 рад/с - начальная циклическая частота вращения платформы.
Из закона сохранения момента импульса системы можно получить конечную циклическую частоту вращения системы:
ω₂ = ω₁(0.5m₁R² + m₂R²)/(0.5m₁R²)
m₁ = 20 кг - масса платформы
R = 1 м - радиус платформы
m₂ = 60 кг - масса платформы
0.5m₁R² + m₂R² - момент инерции системы в начале
0.5m₁R² - момент инерции системы в конце
ω₂ = 0.628·(0.5·20·1² + 60·1²)/(0.5·20·1²) = 4.40 рад/с
Начальная энергия вращения системы равна
E₁ = (0.5m₁R² + m₂R²)ω₁²/2 = (0.5·20·1² + 60·1²)·0.628²/2 = 13.8 Дж
Энергия вращения системы в конце равна
E₂ = (0.5m₁R²)ω₂²/2 = (0.5·20·1²)·4.4²/2 = 96.8 Дж
Работа, которая привела к увеличению энергии системы, равна
А = Е₂ - Е₁ = 96.8 - 13.8 = 83 Дж

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо учесть законы сохранения момента импульса и момента силы.

Момент импульса системы должен сохраняться во время движения. Изначально момент импульса системы равен нулю, так как человек и платформа покоятся. После того, как человек переместится к центру платформы, момент импульса системы также должен быть равен нулю.

Момент импульса (L) можно выразить как произведение момента инерции (I) на угловую скорость (ω): L = I * ω.

Момент инерции платформы можно рассчитать, используя формулу для момента инерции круглого диска: I = (1/2) * m * r^2, где m - масса платформы, r - радиус платформы.

Момент инерции человека, рассматриваемого как точечная масса, равен m * r^2, где m - масса человека, r - расстояние от оси вращения до человека.

Так как момент импульса системы должен сохраняться, момент импульса человека до и после перемещения должен быть одинаковым.

Исходя из этого, можно записать уравнение: I1 * ω1 = I2 * ω2, где I1 и ω1 - момент инерции и угловая скорость до перемещения, I2 и ω2 - момент инерции и угловая скорость после перемещения.

До перемещения: I1 = (1/2) * m1 * r^2, где m1 = масса платформы = 20 кг.

После перемещения: I2 = (1/2) * m1 * r^2 + m2 * r^2, где m2 = масса человека = 60 кг.

Угловая скорость ω1 изначально равна 6 об/мин, но в радианах в секунду это будет (6 * 2π) / 60 рад/с.

Теперь мы можем решить уравнение, чтобы найти ω2: I1 * ω1 = I2 * ω2 (1/2) * m1 * r^2 * ω1 = ((1/2) * m1 * r^2 + m2 * r^2) * ω2

Подставляем известные значения: (1/2) * 20 * 1^2 * ((6 * 2π) / 60) = ((1/2) * 20 * 1^2 + 60 * 1