Question

Шарик массой 2 грамма подвешен на шелковой нити длиной 50 см. Шарик имеет положительный заряд 10 нКл и находится в однородном электрическом поле, напряженность которого направлена вертикально вниз и равна 1 МВ/м. Каков период малых колебаний шарика.

Answer 1

Рассмотрим два случая.

1. На шарик действует лишь сила со стороны электрического поля, а сила тяжести не действует.

Силу рассчитаем, как произведение эл. заряда на напряженность поля:

F = Eq

Далее найдем ускорение, с которым этот шарик двигался бы в электрическом поле, не будь он подвешен на нити:

а = F/m (по второму закону Ньютона)

Теперь воспользуемся формулой для определения периода колебаний нитяного маятника в однородном гравитационном поле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g} }$

Только вместо ускорения свободного падения g, используем ускорение a, рассчитанное нами ранее. Получим формулу:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{a} }$ или с учетом ранее проведенных выкладок:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{lm}{Eq} }$

Здесь, напоминаю, l - длина нити

Расчёт: $Т = 2\pi \sqrt{\frac{0,5 m*2*10^{-3}kg} {1*10^{6}V/m*10* x^{-9}Kl} } = 0.628 c$

2. Если на тело действует дополнительно сила тяжести, сообщающая ему ускорение свободного падения g = 9,8 м/с². Всё то же самое, только вместо ускорения a в формуле будет ускорение (a+g)

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{a+g} }$

Здесь удобнее a рассчитать отдельно:

a = Eq/m = 1*10⁶В/м ˣ 10*10⁻⁹ Кл / 0,002 кг = 5 м/с²

Тогда a+g = 9,8 м/с² + 5 м/с² = 14,8 м/с²

А при расчете период колебаний получим

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.5m}{14,8 m/s^{2}}} = 1.15 c$

Answer 2

Для определения периода малых колебаний шарика в вертикальном электрическом поле воспользуемся формулой периода математического маятника:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

где: $T$ - период колебаний маятника, $L$ - длина нити, $g$ - ускорение свободного падения (около 9.81 м/с² на поверхности Земли).

Поскольку у нас есть электрическое поле, воздействующее на шарик, мы также должны учесть его влияние на период малых колебаний. В таких условиях, ускорение свободного падения $g$ будет заменено на эффективное ускорение $g_{\text{eff}}$.

Эффективное ускорение $g_{\text{eff}}$ для заряженного шарика в электрическом поле можно вычислить как:

$g_{\text{eff}} = g - \frac{F_{\text{эл}}}{m}$

где: $F_{\text{эл}}$ - сила, действующая на заряженный шарик в электрическом поле, $m$ - масса шарика.

Сила $F_{\text{эл}}$, действующая на заряженный шарик в электрическом поле, вычисляется как:

$F_{\text{эл}} = q \cdot E$

где: $q$ - заряд шарика, $E$ - напряженность электрического поля.

Подставим значения:

Масса шарика, $m = 2$ грамма $= 0.002$ кг.

Заряд шарика, $q = 10$ нКл $= 10 \times 10^{-9}$ Кл.

Напряженность электрического поля, $E = 1$ МВ/м $= 1 \times 10^{6}$ В/м.

Теперь, вычислим силу $F_{\text{эл}}$:

$F_{\text{эл}} = (10 \times 10^{-9} \, \text{Кл}) \times (1 \times 10^{6} \, \text{В/м}) = 10^{-3} \, \text{Н}$

Теперь вычислим эффективное ускорение $g_{\text{eff}}$:

$g_{\text{eff}} = 9.81 \, \text{м/с}^2 - \frac{10^{-3} \, \text{Н}}{0.002 \, \text{кг}} \approx 9.805 \, \text{м/с}^2$

Теперь можем вычислить период малых колебаний $T$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.5 \, \text{м}}{9.805 \, \text{м/с}^2}} \approx 1.418 \, \text{с}$

Таким образом, период малых колебаний шарика составляет около 1.418 секунды.