Question

Под каким углом на боковую поверхность призмы должен падать луч, чтобы в призме с углом при вершине у=60 его отклонение было минимальным. Определите этот угол для стеклянной призмы с показателем преломления n=1,41.

Answer 1

Ответ:

45°

Объяснение:

Дано:

γ = 60°

n = 1,41

___________

α - ?

Минимальное отклонение луча возможно при симметричном ходе лучей.

Поэтому сразу воспользуемся формулой для этого случая:

α = arcsin (n·sin (γ/2))

α = arcsin (1,41·sin (60/2) = arcsin (1,41·0,5) = arcsin  (0,705) = 45°

Answer 2

Для определения угла падения луча на боковую поверхность призмы, при котором его отклонение будет минимальным, нам нужно использовать принцип Ферма. Согласно этому принципу, свет будет проходить между двумя точками (начальной точкой и конечной точкой) по пути, который займет наименьшее время.

Обозначим следующие величины:

1. n - показатель преломления стекла призмы (n=1,41).
2. i - угол падения луча на боковую поверхность призмы.
3. r - угол преломления луча в стекле призмы.
4. A - угол при вершине призмы (в данном случае A=60 градусов).

Закон преломления Снелла связывает угол падения и угол преломления следующим образом:

n * sin(i) = sin(r)

Также из геометрии призмы следует:

A = i + r

Теперь, наша задача - найти угол i, при котором отклонение луча будет минимальным. Для этого можем использовать принцип Ферма, что соответствует минимуму времени прохождения луча между начальной и конечной точками.

Когда луч проходит сквозь призму, он проходит путь в стекле. Путь в стекле можно выразить через длину пути L и показатель преломления n:

L = n * d

где d - толщина стекла призмы, которую луч проходит.

Теперь, чтобы минимизировать время прохождения, мы можем минимизировать L, так как n - постоянная величина для данного стекла.

L = n * d

Из геометрии также известно, что d = h / tan(A/2), где h - высота призмы.

Таким образом, получаем:

L = n * h / tan(A/2)

Теперь, найдем угол i, минимизирующий L.

Так как sin(x) / x - убывающая функция при 0 < x < π, то для минимизации L нам необходимо минимизировать sin(r). Таким образом, луч будет падать под углом i, когда sin(i) = sin(r), что следует из закона преломления Снелла.

Итак, i = r, и у нас есть:

n * sin(i) = sin(i)

sin(i) / i = 1 / n

Подставим n = 1,41 (показатель преломления стекла) и решим уравнение:

sin(i) / i = 1 / 1,41

sin(i) ≈ 0,7092

i ≈ arcsin(0,7092) ≈ 44,57 градусов.

Таким образом, чтобы отклонение луча было минимальным в стеклянной призме с углом при вершине 60 градусов и показателем преломления 1,41, луч должен падать под углом около 44,57 градусов на боковую поверхность призмы.