Question

Логарифмический декремент затухания колебаний маятника равен 0,001. Вычислить, за какой промежуток времени амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз, если период колебаний равен 1 с.

Answer 1

t = ln10/∧

∧= 0,001/1

t=2,3/0,001 = 2300 c

Answer 2

Логарифмический декремент затухания (λ) связан с коэффициентом затухания (α) и периодом колебаний (T) следующим образом:

λ = α * T

Где: λ - логарифмический декремент затухания, α - коэффициент затухания, T - период колебаний.

Также, логарифмический декремент затухания связан с отношением начальной амплитуды (A₀) к амплитуде после времени t (A_t) следующим образом:

λ = ln(A₀ / A_t)

Мы знаем, что логарифмический декремент затухания равен 0,001, и нам нужно вычислить промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз.

Пусть A₀ - начальная амплитуда колебаний. Тогда амплитуда после времени t (A_t) будет равна 10% от начальной амплитуды (A₀ / 10).

Тогда, используя формулу для логарифмического декремента:

λ = ln(A₀ / A_t)

Подставим значения:

0.001 = ln(A₀ / (A₀ / 10))

Теперь решим уравнение для A₀:

0.001 = ln(10) ln(A₀) = ln(10) + 0.001

A₀ = e^(ln(10) + 0.001)

A₀ ≈ 10.005

Таким образом, начальная амплитуда колебаний составляет примерно 10.005 единиц.

Теперь, когда у нас есть начальная амплитуда, нужно найти амплитуду после времени t, когда она уменьшится в 10 раз:

A_t = A₀ / 10 A_t ≈ 10.005 / 10 A_t ≈ 1.0005

Теперь используем формулу для логарифмического декремента, чтобы найти время t:

λ = ln(A₀ / A_t) 0.001 = ln(10.005 / 1.0005)

Теперь найдем t:

t = λ / α

Мы знаем, что λ = 0.001 и T = 1 с (период колебаний), и связь между α и T:

λ = α * T 0.001 = α * 1 α = 0.001

Теперь можем найти t:

t = 0.001 / 0.001 t = 1 секунда

Таким образом, амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз за 1 секунду.