Question

Начальная амплитуда колебаний (при t = 0 ) маятника равна A0 = 20 см, амплитуда после 10 полных колебаний равна A10 = 1 см . Определить логарифмический декремент затухания, если период малых колебаний T = 5 с . Записать уравнение колебаний.

Answer 1

A1 =20 см
A2 =1 см
N =10
T= 5 c
Θ - ? 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A2 = A1*e^(-δ*t)=A1*e^(-δ*N*T)
Θ = δ*T
Θ*N = ln(A1/A2)
Θ = ln(A1/A2)/N=3/10=0.3

Answer 2

Для начала, определим ослабление амплитуды колебаний за 10 периодов. Используем формулу для амплитуды свободных затухающих колебаний:

A(t) = A0 * exp(-bt),

где A(t) - амплитуда в момент времени t, A0 - начальная амплитуда, b - коэффициент затухания.

Для t = 10T, где T - период колебаний, имеем:

A(10T) = A0 * exp(-10bT)

A10 = 1 см = 0.01 м

Также известно, что начальная амплитуда A0 = 20 см = 0.2 м.

Для определения коэффициента затухания b найдем его из уравнения:

ln(A0 / A10) = 10bT

ln(0.2 / 0.01) = 10b * 5

b = ln(0.2 / 0.01) / (10 * 5) = 0.0693

Теперь можем записать уравнение колебаний маятника:

x(t) = A0 * exp(-bt) * cos(2πt / T)

где x(t) - смещение маятника от положения равновесия в момент времени t.

Таким образом, логарифмический декремент затухания равен 0.0693, а уравнение колебаний маятника:

x(t) = 0.2 * exp(-0.0693t) * cos(2πt / 5)