Question

Помогите решить!! На прямой, соединяющей Землю и Луну, найти точку, в которой равнодействующая сил тяжения Земли и Луны равна нулю. Расстояние между Землей и Луной - 60 земных радиусов, а масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

Answer 1

Пусть x - расстояние от Земли до этой точки.

Тогда:

G*Mз*m/ (x)² = G*Mл*m/ (60*R-x)²

(Mз/Mл)/ (x)² = 1/ (60*R-x)²

81/ (x)² = 1/ (60*R-x)²

Извлечем квадратные корни:

9 / x = 1 / (60*R-x)

(60*R-x)*9 = x

540*R - 9*x = x

10*x = 540*R

x = 54*R

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим неизвестную точку на прямой между Землей и Луной, в которой равнодействующая сил тяжения равна нулю, как "Т". Пусть "d" - расстояние от Земли до точки "Т", а "60" - расстояние между Землей и Луной (в земных радиусах).

Так как мы хотим найти точку, в которой равнодействующая сил тяжения равна нулю, то сила тяжения Земли и сила тяжения Луны должны быть равны, но противоположно направлены.

Мы знаем, что сила тяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона и равна:

$F = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2}$

где: $F$ - сила тяжения между телами, $G$ - гравитационная постоянная (приблизительно равна $6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2$), $m_1$ и $m_2$ - массы тел (масса Земли и Луны в данном случае), $r$ - расстояние между телами.

Так как масса Земли в 81 раз больше массы Луны, то $m_1 = 81m_2$.

Теперь рассмотрим силы тяжения в точке "Т" со стороны Земли и Луны:

Сила тяжения со стороны Земли:

$F_1 = \dfrac{G \cdot m_1 \cdot m}{d^2}$

Сила тяжения со стороны Луны:

$F_2 = \dfrac{G \cdot m_2 \cdot m}{(60 - d)^2}$

где $m$ - масса некоторого тестового объекта в этой точке (масса тестового объекта не влияет на равнодействующую силу).

Так как равнодействующая сила равна нулю:

$F_1 = F_2$

Теперь мы можем записать уравнение и решить его:

$\dfrac{G \cdot m_1 \cdot m}{d^2} = \dfrac{G \cdot m_2 \cdot m}{(60 - d)^2}$

Теперь подставим $m_1 = 81m_2$:

$\dfrac{G \cdot 81m_2 \cdot m}{d^2} = \dfrac{G \cdot m_2 \cdot m}{(60 - d)^2}$

Теперь сократим на $G \cdot m_2 \cdot m$ и перенесем $(60 - d)^2$ на левую сторону:

$\dfrac{81}{d^2} = \dfrac{1}{(60 - d)^2}$

Теперь возведем обе части уравнения в степень -2 для удобства:

$81 = \dfrac{1}{(60 - d)^2}$

Теперь возьмем обратную величину от обеих частей уравнения:

$\dfrac{1}{81} = (60 - d)^2$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\dfrac{1}{81}} = 60 - d$

$\dfrac{1}{9} = 60 - d$

Теперь выразим "d":

$d = 60 - \dfrac{1}{9}$

$d = 60 - \dfrac{20}{3}$

$d = \dfrac{180 - 20}{3}$

$d = \dfrac{160}{3}$

Таким образом, точка, в которой равнодействующая сила тяжения Земли и Луны равна нулю, находится на расстоянии $\dfrac{160}{3}$ земных радиусов от Земли.