Question

Сжатая на x=2 см пружина подбрасывает стальной шар вертикально вверх на h=20 см. На сколько увеличится высота полёта шара при сжатии пружины на 2x=4 см, если вся энергия сжатой пружины передаётся шару? Ответ выразить в см, округлив до целых.

Answer 1

Система пружина — шар является замкнутой, для неё выполняется закон сохранения полной механической энергии. Будем отсчитывать потенциальную энергию шара от того места, где расположена пружина. Тогда в начальном состоянии: пружина сжата, в ней запасена потенциальная энергия, потенциальная энергия шара равна нулю. Следовательно, полная энергия системы равна В конечном состоянии: пружина не деформирована, шар поднялся на максимальную высоту, его скорость в этот момент обращается в ноль, кинетическая энергия равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Следовательно полная энергия теперь равна Закон сохранения энергии означает:

Отсюда видно, что высота подъёма тела пропорциональна квадрату деформации пружины. Следовательно, увеличение сжатия пружины в 2 раза приведёт к увеличению высоты полета в 4 раза, она станет равной 80 см. Соответственно, высота полета шара увеличится на

Ответ: 60.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законами сохранения механической энергии. При сжатии пружины на 2x = 4 см, она получит потенциальную энергию, которая будет передана шару при его подбрасывании.

Потенциальная энергия, накопленная в сжатой пружине: $E_{\text{пружины}} = \frac{1}{2}kx^2$,

где $k$ - коэффициент упругости пружины, $x$ - сжатие пружины в метрах (в данном случае $x = 4$ см = 0.04 м).

Кинетическая энергия шара при максимальной высоте подъема равна потенциальной энергии пружины: $E_{\text{шара}} = \frac{1}{2}mv^2$,

где $m$ - масса шара, $v$ - его скорость при максимальной высоте подъема.

Масса шара искомая, поэтому найдем ее используя формулу для высоты подъема: $h = \frac{v^2}{2g}$,

где $g$ - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с^2).

Теперь мы можем связать все эти величины: $E_{\text{пружины}} = E_{\text{шара}}$, $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2$.

Выразим $v$ через $h$ и рассчитаем новую высоту подъема при сжатии пружины на 2x:

$v = \sqrt{2gh}$.

Теперь выразим $m$ через $v$:

$m = \frac{2E_{\text{пружины}}}{v^2} = \frac{kx^2}{v^2}$.

Теперь подставим $v$ и рассчитаем новую высоту $h_{\text{новая}}$ при сжатии пружины на 2x:

$h_{\text{новая}} = \frac{v_{\text{новая}}^2}{2g} = \frac{2gh}{2g} = h$.

Таким образом, высота полета шара не изменится при сжатии пружины на 2x = 4 см. Ответ: 20 см.