Question

Тележка с мальчиком массой m движется со скоростью v. Мальчик спрыгивает с тележки противоположно движению также со скоростью v. Какой должна быть масса тележки, скорость тележки после прыжка мальчика возросла вдвое. А) M=m B)M=2m C)M=m/2 D)M=4m

Answer 1

P₁ - импульс мальчика

Р₂ - импульс тележки

υ - изначальная скорость тележки

m - масса мальчика

M - масса тележки

т.к. сначала мальчик и тележка двигались с одинаковой скоростью (мальчик стоял на тележке) ⇒

Р(общий до прыжка) = (m + M)υ

По закону сохранения импульса ⇒ Р(общий до прыжка) = Р(общий после прыжка) ⇒

(M + m)υ = m(υ - υ) (т.к. мальчик прыгнул в противоположную сторону с такой же скоростью) + 2Mυ (т.к. скорость тележки возросла в 2 раза после прыжка мальчика) ⇒

(M + m)υ = 0 + 2Mυ

Mυ + mυ = 2Mυ

Mυ = mυ

M = m

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу пошагово.

Пусть до прыжка масса тележки была M, и масса мальчика была m. Поскольку у мальчика и тележки скорости равны по модулю, но противоположны по направлению, общий импульс системы (тележка + мальчик) равен нулю.

Шаг 1: Общий импульс системы до прыжка Общий импульс системы до прыжка равен сумме импульсов тележки и мальчика:

$$p_{\text{общий до}} = p_{\text{тележки до}} + p_{\text{мальчика до}}$$

Поскольку мальчик движется противоположно тележке, его импульс равен:

$$p_{\text{мальчика до}} = -mv$$

Импульс тележки до прыжка равен:

$$p_{\text{тележки до}} = Mv$$

Теперь общий импульс системы до прыжка:

$$p_{\text{общий до}} = Mv - mv$$

Шаг 2: Импульс системы после прыжка После прыжка мальчика общий импульс системы (тележка + мальчик) остается нулевым, так как внешних горизонтальных сил нет.

Шаг 3: После прыжка мальчика тележка движется со скоростью v и ее масса стала равна M'.

Теперь общий импульс системы после прыжка:

$$p_{\text{общий после}} = M'v$$

Шаг 4: Следующее условие задачи гласит, что скорость тележки после прыжка мальчика увеличилась вдвое. Это означает, что общий импульс после прыжка удвоился по сравнению с импульсом до прыжка:

$$p_{\text{общий после}} = 2p_{\text{общий до}}$$

Шаг 5: Подставим выражения для общих импульсов до и после прыжка и решим уравнение относительно M':

$$M'v = 2(Mv - mv)$$

Раскроем скобки:

$$M'v = 2Mv - 2mv$$

Переносим все, что содержит M', на одну сторону уравнения:

$$M'v - 2Mv = -2mv$$

Факторизуем M' с помощью M:

$$M'(v - 2v) = -2mv$$

Упрощаем:

$$M'v = -2mv$$

И, наконец, выражаем M':

$$M' = \frac{-2mv}{v} = -2m$$

Так как масса не может быть отрицательной, то ответ:

$$\text{M = 2m}$$

Таким образом, правильный ответ - B) M = 2m.