Question

В вертикальном цилиндре находится под поршнем газ при температуре 400 К. Масса поршня 4 кг, площадь поршня 0,004 м2. Какой массы (в килограммах) груз надо положить на поршень, чтобы он оказался на прежней высоте после нагревания газа на 100 К? Атмосферное давление 105 Па.

Answer 1

Запишем условие равновесия поршня для первого состояния

$p_{0}=\frac{mg}{S}+p_{A}$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона ($c=\frac{m}{M}*R$):

$p_{0}=\frac{c*T_{0} }{V}$

Выразив из данных выражений объем получим

$V=\frac{cT_{0} }{\frac{mg}{S}+p_{A} }$

Запишем условие равновесия поршня для второго состояния аналогично первому уравнению

$\frac{c(T_{0}+T_{1})}{V}=\frac{mg}{S}+p_{A}+\frac{m_{1}g }{S}$

Подставив полученный ранее объем получим

$(T_{0} +T_{1} )(\frac{mg}{S}+p_{A})}/{T_{0}}=\frac{mg}{S}+\frac{m_{1} g}{S}+p_{A}$  , откуда

$m_{1}=\frac{T_{1} }{T_{0}}*(m+\frac{p_{A}*S }{g} )=8.8$

Ответ: 8.8 кг.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что при постоянном количестве газа его давление и объем обратно пропорциональны друг другу при изменении температуры:

$P_1V_1 = P_2V_2,$

где $P_1$ и $P_2$ - давление газа до и после изменения температуры соответственно, $V_1$ и $V_2$ - объем газа до и после изменения температуры соответственно.

Для определения массы груза, которую необходимо положить на поршень, чтобы он оказался на прежней высоте, нам необходимо рассмотреть равновесие сил давления газа и силы тяжести, действующей на груз.

1. Найдем исходный объем газа $V_1$ при температуре 400 К. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

$PV = nRT,$

где $P$ - давление газа, $V$ - его объем, $n$ - количество вещества (постоянное), $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура в кельвинах.

Массу $m$ газа можно найти, используя молярную массу $M$:

$m = nM.$

2. После нагревания температура становится $T_2 = 400 \, \text{К} + 100 \, \text{К} = 500 \, \text{К}$. Теперь можем найти объем $V_2$ газа при этой температуре.

3. Для того чтобы поршень остался на прежней высоте, сила давления газа должна быть равна силе тяжести на грузе:

$P_2A = mg,$

где $P_2$ - давление газа после нагревания, $A$ - площадь поршня, $m$ - масса груза, $g$ - ускорение свободного падения.

4. Подставим $P_2$ из закона Бойля-Мариотта:

$P_1V_1 = P_2V_2 \Rightarrow P_2 = \frac{{P_1V_1}}{{V_2}}.$

5. Теперь выразим массу груза $m$:

$m = \frac{{P_1V_1A}}{{V_2g}}.$

Итак, теперь осталось только подставить известные значения:

$P_1 = 105 \, \text{Па}$ (атмосферное давление),

$V_1$ - исходный объем газа при $T = 400 \, \text{К}$,

$V_2$ - объем газа после нагревания $T = 500 \, \text{К}$,

$A = 0.004 \, \text{м}^2$ (площадь поршня),

$g = 9.8 \, \text{м/с}^2$ (ускорение свободного падения).

Подставим эти значения в формулу и рассчитаем массу груза $m$.