Question

В мешок с песком массой M = 80 кг подвешенный на прочной нити длиной ℓ = 2 м, попадает горизонтально летящая со скоростью V = 800 м/с пуля массой m = 100 г и застревает в нём. Рассчитайте начальную скорость мешка с застрявшей пулей, высоту его подъёма и угол отклонения α мешка с пулей от вертикали. Сделать рисунок.

Answer 1

Ответ:

U = 1 м/с

h = 0,05 м или  5 см

α = 13°

Объяснение:

Дано:

M = 80 кг

L = 2 м

V = 800 м/с

m = 100 г = 0,1 кг.

_______________

U - ?

h - ?

α - ?

1)

По закону сохранения импульса:

m*V = (M+m)*U

U = m*V / (M+m) = 0,1*800 / ( 80,1) ≈ 1 м/с

2)

По закону сохранения энергии

M*U²/2 = M*g*h

h = U² / (2*g) = 1²/20 = 0,05 м

3)

cos α = (L-h)/L = 1 - h/L = 1- 0,05/2 = 0,975

α ≈ 13°

Answer 2

Для решения этой задачи применим закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

1. Начнем с расчета начальной скорости мешка с пулей. Поскольку горизонтальная компонента импульса системы до столкновения равна нулю (влетевшая пуля горизонтально летит), то горизонтальная компонента импульса после столкновения также будет равна нулю (отсутствие горизонтальных внешних сил). Итак, суммарная горизонтальная составляющая импульса до столкновения равна суммарной горизонтальной составляющей импульса после столкновения: $0 = m \cdot V_{\text{пули}} + M \cdot V_{\text{мешка}}.$

Мы ищем $V_{\text{мешка}}$ — начальную скорость мешка с застрявшей пулей.

2. Закон сохранения энергии позволяет нам рассчитать высоту подъема мешка с пулей. Потенциальная энергия пули-мешка в его высшей точке (после подъема) равна кинетической энергии пули в момент попадания в мешок:

$mgh = \frac{1}{2} m V_{\text{пули}}^2,$

где $h$ — высота подъема мешка.

3. Мы также можем рассчитать угол отклонения $\alpha$ мешка с пулей от вертикали. Для этого воспользуемся тригонометрией. Пусть $\alpha$ — угол отклонения, тогда

$\tan \alpha = \frac{h}{\frac{\ell}{2}} = \frac{2h}{\ell}.$

Теперь перейдем к числам:

1. Расчет начальной скорости мешка с пулей:

Масса пули $m = 100$ г = $0.1$ кг, Скорость пули $V_{\text{пули}} = 800$ м/с, Масса мешка $M = 80$ кг, Длина нити $\ell = 2$ м.

$0 = m \cdot V_{\text{пули}} + M \cdot V_{\text{мешка}}.$ $V_{\text{мешка}} = -\frac{m}{M} \cdot V_{\text{пули}}.$ $V_{\text{мешка}} = -\frac{0.1 \text{ кг}}{80 \text{ кг}} \cdot 800 \text{ м/с} \approx -1 \text{ м/с}.$

Знак "минус" означает, что мешок с пулей будет двигаться в направлении, противоположном направлению пули.

2. Расчет высоты подъема мешка с пулей:

$mgh = \frac{1}{2} m V_{\text{пули}}^2.$ $h = \frac{\frac{1}{2} m V_{\text{пули}}^2}{mg} = \frac{V_{\text{пули}}^2}{2g}.$ $h = \frac{(800 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} \approx 3265 \text{ м}.$

3. Расчет угла отклонения $\alpha$ мешка с пулей от вертикали:

$\tan \alpha = \frac{2h}{\ell} = \frac{2 \cdot 3265 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 3265.$ $\alpha = \arctan(3265) \approx 87.1^\circ.$

Таким образом, начальная скорость мешка с пулей составляет приблизительно 1 м/с в направлении, противоположном движению пули. Высота подъема мешка с пулей составляет около 3265 метров, а угол отклонения мешка с пулей от вертикали составляет около 87.1 градусов.