Question

. Какова вторая космическая скорость ракеты, стартующей с планеты, плотность которой в 3 раза меньше плотности Земли, а радиус вдвое меньше радиуса Земли? Средняя плотность Земли ρЗ=5,5∙103 кг/м3 . Чему равна первая космическая скорость для этой планеты?

Answer 1

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) - наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания замкнутой орбиты вокруг него.

                             $\displaystyle v_{2}=\sqrt{2G\cdot\frac{M_{n}}{R_{n}} }$

где G = 6,67·10⁻¹¹ (Hм²/кг²) - гравитационная постоянная

      M(n)  - масса планеты (кг)

      R(n) = R(з)/2  - радиус планеты (м)

Определим массу планеты:

      $\displaystyle M_{n}=\rho_{n}V_{n}=\frac{1}{3}\cdot5,5\cdot10^{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot3,14\cdot\bigg(\frac{6,37\cdot10^{6}}{2}\bigg)^{3}=\\\\\\{} \ \ \ \ \ \approx7,68\cdot10^{3}\cdot32,3\cdot10^{18}=2,48\cdot10^{23} \ (kr)$

Вторая космическая скорость для планеты:

      $\displaystyle v_{2}=\sqrt{2\cdot6,67\cdot10^{-11}\cdot\frac{2,48\cdot10^{23}}{3,185\cdot10^{6}}}=\sqrt{10,39\cdot10^{6}}\approx3.2\cdot10^{3} \ (m/c)$

Первая космическая скорость для планеты:

       $\displaystyle v_{1}=\frac{v_{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3,2\cdot10^{3}}{1,4}\approx2,29\cdot10^{3} \ (m/c)$

Answer 2

Для вычисления второй космической скорости ракеты на планете с заданными параметрами, мы можем использовать формулу, связывающую скорость с массой планеты и её радиусом.

Вторая космическая скорость (V2) для планеты можно вычислить по формуле:

V2 = sqrt((2 * G * M) / r),

где G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, r - радиус планеты.

Мы знаем, что плотность планеты (ρ) связана с её массой (M) и радиусом (r) следующим образом:

M = (4/3) * π * r^3 * ρ.

Также известно, что плотность планеты (ρ) в 3 раза меньше плотности Земли (ρЗ). Значит, плотность планеты будет равна:

ρ = (1/3) * ρЗ.

Таким образом, мы можем выразить массу планеты (M) через радиус (r) и плотность планеты (ρ):

M = (4/3) * π * r^3 * (1/3) * ρЗ.

Теперь мы можем заменить значение M в формуле для второй космической скорости:

V2 = sqrt((2 * G * [(4/3) * π * r^3 * (1/3) * ρЗ]) / r).

Чтобы узнать первую космическую скорость (V1), нам необходимо учесть, что она определяется только массой планеты. Первая космическая скорость не зависит от радиуса планеты или её плотности. Поэтому V1 будет такой же, как и на Земле, и её значение составляет около 11,2 км/с.

Пожалуйста, учтите, что я использую систему единиц СИ в вычислениях. Если вам нужны значения в другой системе единиц, не забудьте произвести соответствующие преобразования.