Question

Плоский воздушный конденсатор подключен к батарее. Обкладки конденсатора, не отключая от батареи, раздвигают от d1 =1,0 см до d2 =3,0 см. Во сколько раз при этом измениться энергия (w2/w1) конденсатора?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Пусть:

Емкость батареи C₀

Первоначальная емкость конденсатора:

C₁ = ε₀·ε·S/d₁

Конечная емкость конденсатора:

C₂ = ε₀·ε·S/d₂

Емкость конденсатора изменилась:

C₂/C₁ = d₁/d₂ = 1,0 / 3,0 = 1/3

то есть

С₂ = С₁/3

Емкость системы была:

C₁' = C₀ + C₁

Емкость системы стала:

C₂' = C₀ + C₂ = С₀ + С₁/3

Суммарный заряд системы не изменялся (обкладки конденсатора не отключали от батареи).

Тогда:

W₁ = q²/(2·C₁)

W₂ = q²/(2·C₂)

тогда:

W₂ / W₁ = C₂/C₁ = (С₀ + С₁/3) / C₁ = C₀/C₁ +  1/3

Энергия увеличилась на 33%

Answer 2

Для вычисления изменения энергии конденсатора, можно воспользоваться формулой для энергии, хранящейся в плоском конденсаторе:

$W = \frac{1}{2} C \cdot V^2$

где $W$ - энергия конденсатора, $C$ - его ёмкость, $V$ - напряжение на конденсаторе.

Ёмкость конденсатора определяется как:

$C = \frac{\varepsilon \cdot S}{d}$

где $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора, $S$ - площадь обкладок, $d$ - расстояние между обкладками.

Так как конденсатор подключен к батарее, то заряд на нем остается постоянным. Это означает, что $Q = \text{const}$ (заряд конденсатора не меняется), где $Q = C \cdot V$.

Теперь рассмотрим две ситуации: до раздвигания обкладок ($d = d1$) и после раздвигания ($d = d2$).

1. Ситуация до раздвигания: $Q = C \cdot V_1$

2. Ситуация после раздвигания: $Q = C \cdot V_2$

Так как заряд $Q$ остается неизменным в обеих ситуациях, можно сказать, что $C \cdot V_1 = C \cdot V_2$.

Теперь найдем соотношение между $V_1$ и $V_2$ по изменению расстояния $d$.

Известно, что $C = \frac{\varepsilon \cdot S}{d}$. Тогда, можно записать:

$C \cdot V_1 = \frac{\varepsilon \cdot S}{d_1} \cdot V_1$

$C \cdot V_2 = \frac{\varepsilon \cdot S}{d_2} \cdot V_2$

Так как $C \cdot V_1 = C \cdot V_2$, получаем:

$\frac{\varepsilon \cdot S}{d_1} \cdot V_1 = \frac{\varepsilon \cdot S}{d_2} \cdot V_2$

$V_1 = \frac{d_1}{d_2} \cdot V_2$

Теперь можем найти соотношение между энергией до раздвигания ($W_1$) и энергией после раздвигания ($W_2$):

$W_1 = \frac{1}{2} C \cdot V_1^2 = \frac{1}{2} C \cdot \left(\frac{d_1}{d_2} \cdot V_2\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon \cdot S}{d_1} \cdot \left(\frac{d_1}{d_2} \cdot V_2\right)^2$

$W_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon \cdot S}{d_1} \cdot \frac{d_1^2}{d_2^2} \cdot V_2^2$