Question

Даю 40баллов Точечный источник света расположен на расстоянии 0,6 м от диска. Тень от этого диска падает на экран, который располагается на расстоянии 0,1 м. Экран начинают удалять со скоростью 0,5 см/с. Через какое время площадь тени на экране увеличится в 4 раз(-а)?

Answer 1

Ответ:

280 секунд = 4 минуты 40 секунд

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать подобие треугольников. Пусть $D$ - диаметр диска, $L$ - длина тени на экране, $x$ - расстояние, на которое экран уже удалён от исходного положения, $t$ - время, в течение которого экран удаляется.

Из подобия треугольников:

$\frac{D}{L} = \frac{D+x}{L+t}$.

Мы хотим найти $t$, при котором площадь тени увеличится в 4 раза. Площадь тени пропорциональна квадрату длины тени:

$\text{Площадь тени} = k \cdot L^2$,

где $k$ - некоторая постоянная.

Если площадь увеличится в 4 раза, то:

$k \cdot (L+4)^2 = 4 \cdot k \cdot L^2$,

раскрыв скобки:

$k \cdot (L^2 + 8L + 16) = 4 \cdot k \cdot L^2$,

$L^2 + 8L + 16 = 4L^2$,

$3L^2 - 8L - 16 = 0$.

Это квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение:

$L = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$,

где $a = 3$, $b = -8$, $c = -16$.

Решая это уравнение, получим два значения $L$: $L \approx -1.47$ (отрицательное значение, физически не имеет смысла) и $L \approx 4.81$. Выберем положительное значение $L \approx 4.81$.

Теперь, используя подобие треугольников:

$\frac{D}{L} = \frac{D+x}{L+t}$,

подставим значения:

$\frac{D}{4.81} = \frac{D+x}{4.81+t}$.

Решим это уравнение относительно $t$:

$t = \frac{D}{\frac{D}{4.81} - 1} - 4.81$.

Теперь подставим числовые значения: $D = 0.6$ м и $x = 0.005$ м (поскольку $0.5$ см = $0.005$ м):

$t \approx \frac{0.6}{\frac{0.6}{4.81} - 1} - 4.81 \approx 2.76$ сек.

Таким образом, через примерно $2.76$ секунды площадь тени на экране увеличится в 4 раза.