Question

Точечный источник света расположен на расстоянии x0=1м от диска. Диск лежит в плоскости, параллельной плоскости экрана. Тень от диска падает на экран, который располагается на расстоянии x1=0.2 м от диска. Экран начинают удалять от диска со скоростью 1 см/c Через какое время площадь тени на экране увеличится в 4 раза? Ответ выразить в мин округлив до целых.

Answer 1

Ответ:

2 минуты.

Объяснение:

Площадь тени увеличится в 4 раза тогда, когда радиус её увеличится в 2 раза, т. к. Площадь=Пи*Эр2. Этот радиус - катет. То есть Эр_конечное=2Эр_нулевое. А значит, это как бы подобные треугольники, у которых коэф. подобия = 2. То есть, длина от источника света до экрана = 1.20 м * 2 = 2.40 м, из которых 1 м приходится на расстояние от источника света до диска, а ещё 20 см - от диска до начального расположения экрана. То есть, у нас, по сути, спрашивают, через какое время экран пройдёт расстояние 2.40-(1+0.2) м = 1.20. То есть, ещё раз, путь экрана равен 1.20 м. Наша задача рассчитать, за какое время Тэ при Вэ = 1 см/сек экран пройдёт 120 см. Ответ 120 сек, то есть, 2 минуты.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. Пусть S₀ - начальная площадь тени на экране, S₁ - площадь тени на экране через время t, и S₄ - площадь тени на экране после того, как она увеличится в 4 раза.

Из подобия треугольников можно получить следующее соотношение между площадями теней на экране:

S₀ / (x₁ - x₀)² = S₁ / (x₁ + 0.01t - x₀)²

где 0.01t - это расстояние, на которое удаляется экран со временем.

Из этого соотношения можно выразить S₁:

S₁ = S₀ * (x₁ + 0.01t - x₀)² / (x₁ - x₀)²

Теперь, для того чтобы площадь тени увеличилась в 4 раза, S₄ = 4 * S₀. Подставляя это значение в уравнение для S₁:

4 * S₀ = S₀ * (x₁ + 0.01t - x₀)² / (x₁ - x₀)²

Сокращая S₀ и решая уравнение относительно t:

4 = (x₁ + 0.01t - x₀)² / (x₁ - x₀)²

Перепишем это уравнение:

(x₁ + 0.01t - x₀)² = 4 * (x₁ - x₀)²

Раскроем квадрат:

x₁² + 0.0001t² + x₀² + 2 * 0.01 * t * (x₁ - x₀) - 4 * x₀ * x₁ = 4 * (x₁² - 2 * x₀ * x₁ + x₀²)

Упростим:

x₁² + 0.0001t² + 0.02t * (x₁ - x₀) - 4 * x₀ * x₁ = 4 * x₁² - 8 * x₀ * x₁ + 4 * x₀²

Приведем подобные члены:

0.0001t² + 0.02t * (x₁ - x₀) - 3 * x₁² + 4 * x₀ * x₁ - 4 * x₀² = 0

Теперь мы можем решить это уравнение относительно t. Это будет квадратное уравнение относительно времени t. Решив его, мы найдем время, через которое площадь тени увеличится в 4 раза.

Обратите внимание, что выразить ответ в целых минутах может потребовать дополнительного округления, так как исходные данные даны в метрах и сантиметрах.