Question

Тонкое проводное кольцо радиуса r имеет электрический заряд q. Каким будет приращение силы, которая расстягивает проволоку, если в центре кольца расположить точечный заряд q0?​

Answer 1

Ответ:

Решение: так как Q >> q, то взаимодействием между отдельными элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент кольца длины RΔα. Со стороны заряда Q на него действует сила

ΔF =  QΔq  , где   Δq = qΔα .

4πεoR2 2π

Силы натяжения кольца T уравновешивают ΔF. Из условия равновесия, учитывая, что Δα мало, имеем

ΔF = 2Tsin Δα ≈ 2T Δα = TΔα.

2 2

Искомая сила является натяжением

T =  qQ  .

8π2εoR2

Объяснение:

Answer 2

Чтобы найти приращение силы, которая расстягивает проволоку с зарядом q, когда в центре кольца расположен точечный заряд q0, можно воспользоваться принципом суперпозиции. Это означает, что общая сила будет равна сумме сил от каждого заряда отдельно.

Сила, действующая между двумя точечными зарядами, определяется законом Кулона:

$F = \frac{k |q_1 q_2|}{r^2},$

где F - сила, k - постоянная Кулона (k ≈ 8.99 * 10^9 Н·м^2/Кл^2), $q_1$ и $q_2$ - величины зарядов, а $r$ - расстояние между ними.

При расположении точечного заряда $q_0$ в центре кольца, каждый элементарный заряд dQ на проволоке будет испытывать силу от $q_0$ и силу от заряда $q$, соседствующего с ним.

Сила, которая действует на элементарный заряд dQ со стороны $q_0$, равна:

$dF_0 = \frac{k |q_0 dQ|}{r_0^2},$

где $r_0$ - расстояние между элементарным зарядом dQ и $q_0$.

Также, сила, которая действует на элементарный заряд dQ со стороны заряда $q$, равна:

$dF = \frac{k |q dQ|}{r^2},$

где $r$ - расстояние между элементарным зарядом dQ и зарядом $q$.

Так как кольцо тонкое, мы можем предположить, что $r$ и $r_0$ примерно равны.

Теперь, чтобы найти общую силу $dF_{\text{общ}}$ на проволоке, мы можем сложить силы $dF_0$ и $dF$:

$dF_{\text{общ}} = dF_0 + dF = \frac{k |q_0 dQ|}{r_0^2} + \frac{k |q dQ|}{r^2}.$

Поскольку проволока представляет собой кольцо радиуса $r$, её общую силу $F_{\text{общ}}$ можно найти, интегрируя $dF_{\text{общ}}$ по всей длине проволоки.

Таким образом, приращение силы, которая расстягивает проволоку при добавлении точечного заряда $q_0$ в центре кольца, будет определяться интегралом:

$F_{\text{приращ}} = \int{dF_{\text{общ}}} = \int{\left(\frac{k |q_0 dQ|}{r_0^2} + \frac{k |q dQ|}{r^2}\right)}.$

Точный результат этого интеграла зависит от функциональной зависимости радиуса $r$ относительно угла интегрирования (если предполагать, что кольцо несет равномерный заряд на его окружности). Для более конкретного ответа необходимо знать форму распределения заряда на кольце.