Question

Пожалуйста решите Точка движется по окружности радиусом 105 мм. Уравнение движения точки φ = At + Bt3, где А = 0,1 с-1, В= - 0,2 с-2, φ - угол поворота радиуса окружности. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки через 4 секунд после начала движения. Считая, что окружность расположена в горизонтальной плоскости, изобразить векторы скоростей и ускорений (линейных и угловых) в указанный момент времени.

Answer 1

Ответ:

R = 1.2 м

φ = A*t + B*t3

A = 0.5 рад/с

В = 0,2 рад/с3

t = 4 c

Найти:

aт; аn; a

Решение:

Угловую скорость вращения точки найдем как производную от угла поворота по времени:

ω=φ'(t)

Тогда

ω(t) = A + 3*B*t2 = 0.5+3*0.2*42 = 10.1 c-1

Линейная скорость точки в этот момент

v = ω*R

v = 10.1*1.2 = 12.1 м/с

Нормальное ускорение

an = v2/R = 122.0 м/с2

Найдем угловое ускорение как производную угловой скорости по времени

e(t) = ω'(t)

Тогда

e(t) = 6*B*t = 6*0.2*4 = 4.8 c-2

Тангенциальное ускорение

ат = e*R = 4.8*1.2 = 5.8 м/с2

Полное ускорение

a = √(an2 + an2) = √(122.02+5.82) = 122.1 м/с2

Объяснение:

Answer 2

Для определения тангенциального, нормального и полного ускорения точки, сначала вычислим угол поворота и его производные по времени. Затем используем эти значения для нахождения ускорений.

Уравнение движения точки дано как φ = At + Bt³, где: A = 0,1 с⁻¹ B = -0,2 с⁻²

Чтобы найти угол поворота φ через 4 секунды (t = 4 с), подставим t = 4 с в уравнение:

φ = 0,1 * 4 - 0,2 * (4^3) φ = 0,4 - 0,2 * 64 φ = 0,4 - 12,8 φ = -12,4 радиан

Теперь найдем первую и вторую производные угла поворота по времени:

1. Первая производная φ'(t) (тангенциальная скорость): φ'(t) = A - 3Bt² φ'(4) = 0,1 - 3 * (-0,2) * (4^2) φ'(4) = 0,1 + 2,4 φ'(4) = 2,5 рад/с

2. Вторая производная φ''(t) (тангенциальное ускорение): φ''(t) = -6Bt φ''(4) = -6 * (-0,2) * 4 φ''(4) = 4,8 рад/с²

Теперь, чтобы найти нормальное ускорение, мы можем использовать формулу для радиуса кривизны R:

R = 1 / |φ''(t)|

где |φ''(t)| - модуль тангенциального ускорения.

R = 1 / |4,8| = 1 / 4,8 = 0,208 м

Теперь, используя радиус кривизны R и тангенциальное ускорение φ''(t), мы можем найти нормальное ускорение:

N = (φ''(t))^2 * R N = (4,8)^2 * 0,208 N ≈ 4,99 м/с²

Теперь мы можем найти полное ускорение, объединив тангенциальное и нормальное ускорение векторно:

A_total = √(T² + N²) A_total = √((2,5)² + (4,99)²) A_total ≈ 5,57 м/с²

Таким образом, в момент времени t = 4 секунды после начала движения:

• Тангенциальное ускорение (a_t) составляет примерно 2,5 рад/с².
• Нормальное ускорение (a_n) составляет примерно 4,99 м/с².
• Полное ускорение (a_total) составляет примерно 5,57 м/с².

Чтобы изобразить векторы скоростей и ускорений в этот момент времени, вы можете нарисовать следующие векторы:

1. Вектор скорости (T) - направлен вдоль тангенциальной линии и имеет длину примерно 2,5 рад/с.
2. Вектор ускорения (A_total) - направлен вдоль касательной линии и имеет длину примерно 5,57 м/с².
3. Вектор нормального ускорения (N) - направлен внутрь окружности и имеет длину примерно 4,99 м/с².

Эти векторы должны быть нарисованы в точке, где находится точка на окружности в момент времени t = 4 секунды.