Question

*ЗАДАЧА * Медный стержень длиной l=1.5м закреплен с одного конца, на котором расположен источник продольных колебаний с частотой =8675 гц. Источник возбуждает в стержне бегущую волну е(x, t) =3cos (amegat-kx), мкм.плотность меди p=8900 модуль упругости Е=123Гпа.Получить уравнение стоячей волны., возниквющей в результате наложения бегущей и отраженной от противоположного свободного конца стержня. Определить длину стоячий волны, амплитуду, а так же расположение узлов и пучностей на длине стержня. Изобразить графический возникающую волну для моментов времени t1=T/4 и t2=T

Answer 1

Ответ:

Прежде всего найдем скорость продольной волны

$c=\sqrt{\frac{E}{\rho} }=\sqrt{\frac{123*10^9}{8900} }=3718$ м/с

Циклическая частота

$\omega=2\pi \nu=2\pi *8675=17350\pi$ рад/с

Волновое число

$k=\frac{\omega}{v}=\frac{17350\pi }{3718}=4.67\pi$ 1/м

Тогда уравнение бегущей волны примет вид

$\xi(x,t)=3cos(17350\pi t-4.67\pi x)$

Эта волна распространяется в прямом направлении. В свободном конце должна быть пучность смещения. От свободного конца волна должна отразиться в фазе (для того, чтобы возникла пучность). Значит уравнение отраженной волны имеет вид

$\xi'(x,t)=3cos(17350\pi t+4.67\pi x)$

Их сумма и даст уравнение стоячей волны

$\xi_c(x,t)=\xi(x,t)+\xi'(x,t)=3cos(17350\pi t-4.67\pi x)+3cos(17350\pi t+4.67\pi x)=$

$=6cos(17350\pi t)cos(4.67\pi x)$

Длина стоячей волны равна половине длины бегущей волны

$\lambda_c=\frac{\lambda}{2}=\frac{v}{2\nu}=\frac{3718}{2*8675}=0.21$ м

Амплитуда стоячей волны равна удвоенной амплитуде бегущей, т.е. 6 мкм

Узлы $x_y=\pm (n+\frac{1}{2} )\frac{\lambda}{2}$

На длине стержня узлы будут в точках 0,105; 0,315; 0,525; 0,735; 0,945; 1,155; 1,365 метров

Пучности $x_p=\pm\frac{n}{2}\lambda$

Их координаты 0; 0,21; 0,42; 0,63; 0,84; 1,05; 1,26; 1,5 метра

Answer 2

Для начала, давайте найдем параметры бегущей волны, которая возбуждается источником на одном конце медного стержня.

Уравнение бегущей волны можно записать в следующем виде: $e(x, t) = 3 \cos(\omega t - kx),$ где:

• $e(x, t)$ - амплитуда продольных колебаний,
• $\omega = 2\pi f$ - угловая частота (в радианах в секунду),
• $f = 8675 \, \text{Гц}$ - частота колебаний,
• $k = \frac{\omega}{v}$ - волновое число,
• $v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$ - скорость распространения волны,
• $E = 123 \, \text{ГПа}$ - модуль упругости,
• $\rho = 8900 \, \text{кг/м}^3$ - плотность меди.

Рассчитаем скорость распространения волны: $v = \sqrt{\frac{123 \times 10^{9} \, \text{Н/м}^2}{8900 \, \text{кг/м}^3}} \approx 4706 \, \text{м/с}.$

Поэтому волновое число $k = \frac{\omega}{v} = \frac{2\pi \times 8675 \, \text{рад/с}}{4706 \, \text{м/с}} \approx 3.682 \, \text{рад/м}$.

Теперь мы можем записать уравнение отраженной волны, отраженной от свободного конца стержня. Она будет иметь аналогичную форму: $e_r(x, t) = R \cdot 3 \cos(\omega t + kx),$ где $R$ - коэффициент отражения. Для отражения от свободного конца $R = -1$.

Суммируя бегущую и отраженную волны, получаем стоячую волну: $e_s(x, t) = e(x, t) + e_r(x, t) = 3 \cos(\omega t - kx) - 3 \cos(\omega t + kx) = 6 \sin(kx) \cos(\omega t).$

Теперь давайте найдем длину стоячей волны. Для стоячей волны узлы (места с минимальной амплитудой) находятся в целочисленных полуволнах. Пусть $L$ - длина стержня, $n$ - целое число, тогда положение узлов $x_n$ можно найти по формуле: $x_n = \frac{n \cdot \lambda}{2},$ где $\lambda$ - длина стоячей волны.

Так как у нас $L = 1.5 \, \text{м}$, то для первого узла $n = 1$: $x_1 = \frac{1 \cdot \lambda}{2}.$

Амплитуда стоячей волны будет равна модулю разности максимума и минимума амплитуды: $A = \frac{e_{\text{макс}} - e_{\text{мин}}}{2},$ где $e_{\text{макс}} = 6 \, \text{мкм}$ (максимальное значение амплитуды стоячей волны), $e_{\text{мин}} = 0$ (амплитуда в узлах).

Итак, для нахождения длины стоячей волны, расположения узлов и пучностей, и амплитуды, мы можем использовать полученные выше формулы. Для построения графика волны на моменты времени $t_1 = \frac{T}{4}$ и $t_2 = T$, мы можем использовать уравнение стоячей волны $e_s(x, t) = 6 \sin(kx) \cos(\omega t)$, подставив соответствующие значения $t$.