Question

Человек массой m стоит на краю однородного, горизонтально расположенного диска массой M и радиусом R, вращающегося на гладкой горизонтальной поверхности с угловой скоростью w0 вокруг закреплённой вертикальной оси, проходящей через его центр. С какой угловой скоростью w будет вращаться диск, если человек перейдет к его центру? Размерами человека по сравнению с радиусом диска, а также трением в оси пренебречь.

Answer 1

Момент инерции вращающейся платформы

J = MR^2/2

Момент инерции человека , стоящего на краю платформы

j = mR^2

Суммарный момент импульса в начале задачи

L1 = (J + j) * w0 = (MR^2/2 + mR^2) * w0

Суммарный момент импульса в конце задачи

L2 = J * w = MR^2/2 * w

По закону сохранения Момента импульса L1 = L2

Откуда

(MR^2/2 + mR^2) * w0= MR^2/2 * w

Откуда

w = (MR^2/2 + mR^2) * w0/ (MR^2/2) = w0*(1 + 2m/M)

Answer 2

Изначально, перед тем как человек перейдет к центру диска, сохранение момента импульса применяется к системе (человек + диск). Момент инерции диска относительно его оси вращения можно выразить как:

$I_{\text{диск}} = \frac{1}{2} M R^2.$

Момент инерции человека относительно той же оси можно считать малым и пренебрегать им по сравнению с моментом инерции диска.

С начальными условиями, когда человек находится на краю диска, и моментом инерции $I_{\text{диск}}$ вращающегося диска, угловой момент системы $L$ (продукт момента инерции на угловую скорость) можно записать как:

$L_{\text{нач}} = I_{\text{диск}} \cdot w_0.$

Когда человек перейдет к центру диска, расстояние до оси вращения уменьшится, что приведет к увеличению угловой скорости. После перехода человека к центру диска, новый момент инерции диска $I_{\text{диск\_новый}}$ будет зависеть от его радиуса $r$ (нового расстояния от центра до оси вращения) и можно записать как:

$I_{\text{диск\_новый}} = \frac{1}{2} M r^2.$

С учетом сохранения момента импульса, новый угловой момент $L_{\text{новый}}$ будет равен предыдущему угловому моменту $L_{\text{нач}}$:

$L_{\text{новый}} = I_{\text{диск\_новый}} \cdot w.$

Сравнивая $L_{\text{нач}}$ и $L_{\text{новый}}$, можно записать:

$I_{\text{диск}} \cdot w_0 = I_{\text{диск\_новый}} \cdot w.$

Подставив выражения для $I_{\text{диск}}$, $I_{\text{диск\_новый}}$ и переупорядочив уравнение, получим:

$\frac{1}{2} M R^2 \cdot w_0 = \frac{1}{2} M r^2 \cdot w.$

Сократив массу $M$ и упростив выражение, получим:

$R^2 \cdot w_0 = r^2 \cdot w.$

Отсюда можно выразить $w$ (угловая скорость диска после перехода человека к центру):

$w = \frac{R^2}{r^2} \cdot w_0.$

Поскольку человек перешел к центру диска, $r$ стал равен радиусу диска $R$:

$w = \frac{R^2}{R^2} \cdot w_0 = w_0.$

Таким образом, угловая скорость диска останется неизменной и будет равна $w_0$, независимо от того, где находится человек на диске.