Question

Потужність випромінювання АЧТ Р =100 Вт знайти площу поверхні тіла якщо максимум випромінювання припадає на довжину хвилі = 580 нм

Answer 1

Ответ:

2,8 мм²

Объяснение:

Воспользуемся законом смещения Вина для нахождения температуры тела

$\lambda _m_a_x=\frac{b}{T} => T=\frac{b}{\lambda _m_a_x}$ где $b=2.9*10^-^3$ м*К - постоянная Вина

Температура тела

$T=\frac{2.9*10^-^3}{580*10^-^9}=5000$ К

Излучательную способность АЧТ, нагретого до такой температуры найдем из закона Стефана-Больцмана

$R=\sigma T^4$ где σ=5,67*10⁻⁸ Вт/(м²*К⁴) - постоянная Стефана-Больцмана

$R=5.67*10^-^8*5000^4=3.54*10^7$ Вт/м²

Отсюда легко найти площадь поверхности

$S=\frac{P}{R}=\frac{100}{3.54*10^7}=2.8*10^-^6$ м² или 2,8 мм².

Answer 2

Для вирішення цього завдання можна скористатися законом Стефана-Больцмана та законом Віна.

1. Закон Стефана-Больцмана виражає залежність між потужністю випромінювання тіла та його площею поверхні:

   $P = \sigma \cdot A \cdot T^4$,

   де:

   • $P$ - потужність випромінювання (100 Вт);
   • $\sigma$ - постійна Стефана-Больцмана ($5.67 \times 10^{-8}\, \text{Вт/м}^2\cdot\text{К}^4$);
   • $A$ - площа поверхні тіла, яку ми хочемо знайти (в метрах квадратних);
   • $T$ - температура поверхні тіла в Кельвінах.

2. Закон Віна встановлює зв'язок між температурою поверхні тіла і довжиною хвилі при максимумі випромінювання:

   $\lambda_{\text{max}} \cdot T = b$,

   де:

   • $\lambda_{\text{max}}$ - довжина хвилі при максимумі випромінювання (580 нм, або $580 \times 10^{-9}$ м);
   • $T$ - температура поверхні тіла в Кельвінах;
   • $b$ - константа Віна ($2.897 \times 10^{-3}\, \text{м} \cdot \text{К}$).

Ми можемо використовувати другий рівняння для визначення температури $T$ у виразі першого рівняння. Після підставлення отримаємо:

$P = \sigma \cdot A \cdot \left(\frac{b}{\lambda_{\text{max}}}\right)^4$.

Тепер можемо розв'язати вираз для площі поверхні $A$:

$A = \frac{P}{{\sigma \cdot \left(\frac{b}{\lambda_{\text{max}}}\right)^4}}$.

Підставляючи вказані значення констант та довжину хвилі, ми отримаємо площу поверхні $A$:

$A = \frac{100}{{5.67 \times 10^{-8} \cdot \left(\frac{2.897 \times 10^{-3}}{580 \times 10^{-9}}\right)^4}} \approx 3.87 \, \text{м}^2$.

Отже, площа поверхні тіла становить приблизно 3.87 метра квадратних.