Question

Из двух проволочек одинаковой длины согнули квадратную и круглую рамки и поместили их в переменное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Во сколько раз ЭДС индукции в круглой рамке больше, чем ЭДС индукции в квадратной? С подробным решением:)

Answer 1

Ответ:

Для круглой будет в $\frac{4}{\pi }$ или 1,27 раза больше

Объяснение:

ЭДС индукции в контуре

$\xi_i=-\frac{d\Phi}{dt}=-S\frac{dB}{dt}$ где S - площадь контура, значит $\xi_i \propto S$

Задача сводится к чистой геометрии. Обозначим длину проволочки за L, если мы согнем квадратную рамку, то сторона этой рамки, очевидно, будет равна $\frac{L}{4}$, а площадь $\frac{L^2}{16}$, если согнем круглую рамку, диаметр этой рамки будет равен $\frac{L}{\pi }$, а площадь $\frac{L^2}{4\pi }$, отношение ЭДС

$\frac{\xi_i \bigcirc}{\xi_i \Box} =\frac{S\bigcirc}{S\Box}=\frac{L^2}{4\pi } \frac{16}{L^2}=\frac{4}{\pi } \approx 1.27$ раза.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся законом индукции Фарадея, который гласит, что ЭДС индукции (ε) в замкнутом контуре равна скорости изменения магнитного потока через этот контур:

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt},$

где ε - ЭДС индукции, $\Phi$ - магнитный поток, а t - время.

Магнитный поток ($\Phi$) через контур зависит от магнитной индукции (B), площади контура (A) и угла ($\theta$) между магнитным полем и нормалью к плоскости контура:

$\Phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta).$

В данной задаче у нас есть два контура - круглый и квадратный. Оба контура находятся в одинаковом магнитном поле, поэтому магнитная индукция (B) одинакова для обоих контуров.

Сначала рассмотрим круглую рамку: Пусть r - радиус круглой рамки. Площадь круга: $A_{\text{кр}} = \pi r^2$. Угол между магнитным полем и нормалью к плоскости круга ($\theta_{\text{кр}}$) равен 0°, так как магнитные силовые линии перпендикулярны к плоскости круга.

Теперь рассмотрим квадратную рамку: Пусть a - длина стороны квадрата. Площадь квадрата: $A_{\text{кв}} = a^2$. Угол между магнитным полем и нормалью к плоскости квадрата ($\theta_{\text{кв}}$) также равен 0°.

Таким образом, для обоих контуров: $\cos(\theta_{\text{кр}}) = \cos(\theta_{\text{кв}}) = \cos(0^\circ) = 1.$

Подставляем это значение обратно в уравнение магнитного потока:

Для круглой рамки: $\Phi_{\text{кр}} = B \cdot A_{\text{кр}} \cdot \cos(\theta_{\text{кр}}) = B \cdot \pi r^2.$

Для квадратной рамки: $\Phi_{\text{кв}} = B \cdot A_{\text{кв}} \cdot \cos(\theta_{\text{кв}}) = B \cdot a^2.$

Теперь выразим ЭДС индукции для обоих рамок через магнитный поток:

Для круглой рамки: $\varepsilon_{\text{кр}} = -\frac{d\Phi_{\text{кр}}}{dt} = -\frac{d(B \cdot \pi r^2)}{dt}.$

Для квадратной рамки: $\varepsilon_{\text{кв}} = -\frac{d\Phi_{\text{кв}}}{dt} = -\frac{d(B \cdot a^2)}{dt}.$

Поскольку магнитная индукция (B) одинакова для обоих рамок, мы можем сравнить ЭДС индукции по отношению к их площадям:

$\frac{\varepsilon_{\text{кр}}}{\varepsilon_{\text{кв}}} = \frac{-\frac{d(B \cdot \pi r^2)}{dt}}{-\frac{d(B \cdot a^2)}{dt}} = \frac{\pi r^2}{a^2}.$

Таким образом, ЭДС индукции в круглой рамке будет больше, чем в квадратной, в $\frac{\pi r^2}{a^2}$ раз.

Важно отметить, что эта оценка применима только при условии, что изменение магнитного потока происходит в одинаковых условиях для обеих рамок.